设A，B为n阶矩阵，则如下命题： ①若A2～B2，则A～B； ②若A～B且A，B可逆，则A-1+A2～B-1+B2； ③若A，B特征值相同，则A～B； ④若A～B且A可相似对角化，则B可相似对角化，其中正确的命题为(

admin2020-11-16 16

问题设A，B为n阶矩阵，则如下命题：
①若A²～B²，则A～B；
②若A～B且A，B可逆，则A^-1+A²～B^-1+B²；
③若A，B特征值相同，则A～B；
④若A～B且A可相似对角化，则B可相似对角化，
其中正确的命题为( )．

选项 A、①③
B、①②
C、②③
D、②④

答案D

解析取

因为A²=B²=O，所以A²～B²，
因为r(A)=1≠r(B)=0，所以A与B不相似，则①不正确；
因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，
从而P^-1A^-1P=B^-1且P^-1A²P=B²，于是P^-1(A^-1+A²)P=B^-1+B²，
即A^-1+A²～B^-1+B²，则②正确；
设

显然A，B特征值相同，而r(A)≠r(B)，故A与B不相似，则③不正确；
设A～B，即存在可逆阵P₁，使得P₁^-1AP₁=B且A，B的特征值相同，设其为λ₁，…，λ_n，
因为A可相似对角化，所以存在可逆阵P₂，使得

于是

即

故B可相似对角化，则④正确，应选(D)．

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考研数学一

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Ihaveworkedwithhimforsometimeandhavefoundthatheis______thanJohn.

TheancientAztecsveneratedthecacaotreeanduseditsbeansasaformofcurrency.They【C1】______thetreeasasourceofstre

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