设空间曲线，其中常数R＞0，从z轴正向朝z轴负向看去，L为逆时针转的，求空间第二型曲线积分∮Ly2dx＋x2dy＋x2dz．

admin2019-07-01 56

问题设空间曲线

，其中常数R＞0，从z轴正向朝z轴负向看去，L为逆时针转的，求空间第二型曲线积分∮_Ly²dx＋x²dy＋x²dz．

选项

答案法一参数法．由曲线L的第二个式子有 [*] 取参数式，令[*]，如图所示，由于L为逆时针转的，所以t从0变化到2π．代入L的第一个式子，得L的参数式为 [*] [*] 代入曲线积分表达式中，有 [*] 法二用斯托克斯公式化成第一型曲面积分．取以L为边界的一个光滑曲面，就取组成L的曲面S：[*]的法向量 [*] 由斯托克斯公式，并写成第一型曲面积分形式，有 [*] 由于S的法向量指向外侧，故[*] 再将上述第一型曲面积分化成二重积分，并注意到[*]，s在平面xOy上的投影区域为 D_xy＝{(x，y)｜x²＋y²≤Rx}，于是 [*]

解析

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考研数学一

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设空间曲线，其中常数R＞0，从z轴正向朝z轴负向看去，L为逆时针转的，求空间第二型曲线积分∮Ly2dx＋x2dy＋x2dz．

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