设曲线L过点(1，1)，L上任意一点P(x，y)处的切线交x轴于点T，O为坐标原点，若｜PT｜＝｜OT｜。试求曲线L的方程。

admin2019-12-24 40

问题设曲线L过点(1，1)，L上任意一点P(x，y)处的切线交x轴于点T，O为坐标原点，若｜PT｜＝｜OT｜。试求曲线L的方程。

选项

答案设曲线方程为y＝y(x)，则y(1)＝1，过点P(x，y)的切线方程为Y－y＝y’(X-x)，则切线与x轴的交点为T(x－y／y’，0)。根据｜PT｜＝｜OT｜，有 [*] 上式两边同时平方，整理可得y’(x²－y²)＝2xy，该一阶微分方程为齐次方程，令u＝y／x，可得[*]，两边取积分得 [*] 解得u＋1／u＝1／Cx，将初始条件y(1)＝1代入，可得C＝1／2，故曲线L的方程为x²＋y²－2y＝0。

解析本题主要考查曲线的切线方程及求解一阶齐次微分方程。

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考研数学三

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