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考研
求下列幂级数的和函数：
求下列幂级数的和函数：
admin
2018-06-14
43
问题
求下列幂级数的和函数：
选项
答案
利用逐项求导两次去掉幂级数的通项[*]的分母n(2n+1)，化为几何级数求和函数．计算可得幂级数[*]的收敛半径R=1，收敛域是[一1，1]，设其和函数为S(x)，则 S(x)=[*]，一1≤x≤1，且S(0)=0． 为便于利用逐项求导去掉幂级数通项的分母n(2n+1)化为几何级数求和，可引入幂级数[*]，这个幂级数的收敛半径也是R=1，收敛域也是[一1，1]，设其和函数为S(x)，则 S
1
(x)=[*]=xS(x)，一1≤x≤1， 且S
1
(0)=S’
1
(0)=0．在开区间(一1，1)内逐项求导两次可得 S"
1
(x)=2[*](—1)
n
x
2n—1
=—2x[*](—x
2
)
n—1
=一[*]， 逐项积分就有 S’
1
(x)=∫
0
x
S"
1
(t)dt=一∫
0
x
[*]dt=—ln(1+x
2
)，一1＜x＜1， S
1
(x)=∫
0
x
S’
1
(t)dt=一∫
0
x
ln(1+t
2
)dt=一xln(1+x
2
)+∫
0
x
tdln(1+t
2
) =一xln(1+x
2
)+2∫
0
x
[*]dt=2x一2arctanx—xln(1+x
2
)，一1＜x＜1． 由于幂级数[*]在x=±1都收敛，且函数2x—2arctanx—xln(1+x)在x=±1都连续，故和函数S
1
(x)=2x一2arctanx—xln(1+x)分别在x一1与x=1处也成立．由此即得 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3mW4777K
0
考研数学三
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