求下列幂级数的和函数：

admin2018-06-14 64

问题求下列幂级数的和函数：

选项

答案利用逐项求导两次去掉幂级数的通项[*]的分母n(2n+1)，化为几何级数求和函数．计算可得幂级数[*]的收敛半径R=1，收敛域是[一1，1]，设其和函数为S(x)，则 S(x)=[*]，一1≤x≤1，且S(0)=0．为便于利用逐项求导去掉幂级数通项的分母n(2n+1)化为几何级数求和，可引入幂级数[*]，这个幂级数的收敛半径也是R=1，收敛域也是[一1，1]，设其和函数为S(x)，则 S₁(x)=[*]=xS(x)，一1≤x≤1，且S₁(0)=S’₁(0)=0．在开区间(一1，1)内逐项求导两次可得 S"₁(x)=2[*](—1)ⁿx^2n—1=—2x[*](—x²)^n—1=一[*]，逐项积分就有 S’₁(x)=∫₀^xS"₁(t)dt=一∫₀^x[*]dt=—ln(1+x²)，一1＜x＜1， S₁(x)=∫₀^xS’₁(t)dt=一∫₀^xln(1+t²)dt=一xln(1+x²)+∫₀^xtdln(1+t²) =一xln(1+x²)+2∫₀^x[*]dt=2x一2arctanx—xln(1+x²)，一1＜x＜1．由于幂级数[*]在x=±1都收敛，且函数2x—2arctanx—xln(1+x)在x=±1都连续，故和函数S₁(x)=2x一2arctanx—xln(1+x)分别在x一1与x=1处也成立．由此即得 [*]

解析

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考研数学三

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求下列幂级数的和函数：

考研数学三

设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f(x)≠0(1＜x＜2)，又存在，证明：存在ξ∈(1，2)，使得

设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=一f(ξ)cotξ．

若f(一x)=一f(x)，且在(0，+∞)内f’(x)＞0，f(x)＞0，则在(一∞，0)内()．

设=________．

设y=f（x）为区间[0，1]上的非负连续函数．证明存在c∈（0，1），使得在区间[0，c]上以f（c）为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f（x）为曲边的曲边梯形的面积；

设k＞0．讨论常数k的取值，使f(x)=xlnx+k在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点．

求幂级数的收敛域．

判断级数的敛散性．

已知随机变量X～N(0，1)，求：(Ⅰ)Y=的分布函数；(Ⅱ)Y=eX的概率密度；(Ⅲ)Y=｜X｜的概率密度．(结果可以用标准正态分布函数Ф(x)表示)

(2013年)设{an}为正项数列，下列选项正确的是()

腰大肌试验用于检查()

A．解表药B．活血化瘀药C．利水渗湿药D．清热药E．补虚药具有抗病原体、解热作用的中药是()。

下列项目中，通过“其他权益工具”科目核算的有()。

下列情形中属于连续犯的有()。

设三阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3．A的属于特征值1，2的特征向量分别是α1=[一1，一1，1]T，α2=[1，一2，一1]T．(1)求A的属于特征值3的特征向量．(2)求矩阵A．

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