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  3. 求下列幂级数的和函数：

求下列幂级数的和函数：

admin2018-06-14  51
问题 求下列幂级数的和函数：
选项
答案利用逐项求导两次去掉幂级数的通项[*]的分母n(2n+1)，化为几何级数求和函数．计算可得幂级数[*]的收敛半径R=1，收敛域是[一1，1]，设其和函数为S(x)，则 S(x)=[*]，一1≤x≤1，且S(0)=0． 为便于利用逐项求导去掉幂级数通项的分母n(2n+1)化为几何级数求和，可引入幂级数[*]，这个幂级数的收敛半径也是R=1，收敛域也是[一1，1]，设其和函数为S(x)，则 S1(x)=[*]=xS(x)，一1≤x≤1， 且S1(0)=S’1(0)=0．在开区间(一1，1)内逐项求导两次可得 S"1(x)=2[*](—1)nx2n—1=—2x[*](—x2)n—1=一[*]， 逐项积分就有 S’1(x)=∫0xS"1(t)dt=一∫0x[*]dt=—ln(1+x2)，一1＜x＜1， S1(x)=∫0xS’1(t)dt=一∫0xln(1+t2)dt=一xln(1+x2)+∫0xtdln(1+t2) =一xln(1+x2)+2∫0x[*]dt=2x一2arctanx—xln(1+x2)，一1＜x＜1． 由于幂级数[*]在x=±1都收敛，且函数2x—2arctanx—xln(1+x)在x=±1都连续，故和函数S1(x)=2x一2arctanx—xln(1+x)分别在x一1与x=1处也成立．由此即得 [*]
解析
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考研数学三

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