A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且。 (Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵A。

admin2018-04-18 59

问题 A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且

。
(Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量；
(Ⅱ)求矩阵A。

选项

答案(Ⅰ)因为 [*] r(A)=2＜3，因此A有一个0特征值，另外两个特征值是λ₁=一1，λ₂=1。 λ₁=一1，λ₂=1对应的特征向量分别为： [*] 设λ₃=0对应的特征向量为[*]是特征值0对应的特征向量。因此k₁α₁，k₂α₂，k₃η是对应于特征值一1，1，0的特征向量，其中k₁，k₂，k₃为任意非零常数。 (Ⅱ)由于不同特征值对应的特征向量已经正交，故只需单位化，即 β₁=[*]=(0，1，0)^T。令Q=(β₁，β₂，β₃)，则Q^TAQ=[*]， [*]

解析

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考研数学三

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设①求作可逆矩阵P，使得（AP）TAP是对角矩阵．②k取什么值时A+kE正定?
已知向量组α1，α2，…，αs+1(s＞1)线性无关，βi=αi+tαi+1，i=1，2，…，s．证明：向量组β1，β2，…，βs线性无关．
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已知B是n阶矩阵，满足B2=E(此时矩阵B称为对合矩阵)．求B的特征值的取值范围．
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设A为n阶正定矩阵．证明：存在唯一正定矩阵H，使得A=H2．
设A是n阶矩阵，A2=A，r(A)=r，证明A能对角化，并求A的相似标准形．
判别下列正项级数的敛散性：(Ⅰ)，其中{xn}是单调递增而且有界的正数数列．

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