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  3. 设y=f(x)在[0，+∞)上有连续的导数，且f’(x)＞0，f(0)=0，f(x)的值域也是[0，+∞)．又设x=φ(y)是y=f(x)的反函数，常数a＞0，b＞0．证明：∫0af(x)dx+∫0bφ(y)dy≥ab，当且仅当a=φ(b)时上式取等号．

设y=f(x)在[0，+∞)上有连续的导数，且f’(x)＞0，f(0)=0，f(x)的值域也是[0，+∞)．又设x=φ(y)是y=f(x)的反函数，常数a＞0，b＞0．证明：∫0af(x)dx+∫0bφ(y)dy≥ab，当且仅当a=φ(b)时上式取等号．

admin2020-03-08  31
问题 设y=f(x)在[0，+∞)上有连续的导数，且f’(x)＞0，f(0)=0，f(x)的值域也是[0，+∞)．又设x=φ(y)是y=f(x)的反函数，常数a＞0，b＞0．证明：∫0af(x)dx+∫0bφ(y)dy≥ab，当且仅当a=φ(b)时上式取等号．
选项
答案对第二个积分做积分变量变换，并由分部积分，有 ∫0af(x)dx+∫0bφ(y)dy=∫0af(x)dx+∫0φ(b)φ(f(x))df(x) =∫0af(x)dx+∫0φ(b)xdf(x) =∫0af
解析
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考研数学一

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