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设y=f(x)在[0,+∞)上有连续的导数,且f’(x)>0,f(0)=0,f(x)的值域也是[0,+∞).又设x=φ(y)是y=f(x)的反函数,常数a>0,b>0.证明:∫0af(x)dx+∫0bφ(y)dy≥ab,当且仅当a=φ(b)时上式取等号.
设y=f(x)在[0,+∞)上有连续的导数,且f’(x)>0,f(0)=0,f(x)的值域也是[0,+∞).又设x=φ(y)是y=f(x)的反函数,常数a>0,b>0.证明:∫0af(x)dx+∫0bφ(y)dy≥ab,当且仅当a=φ(b)时上式取等号.
admin
2020-03-08
35
问题
设y=f(x)在[0,+∞)上有连续的导数,且f’(x)>0,f(0)=0,f(x)的值域也是[0,+∞).又设x=φ(y)是y=f(x)的反函数,常数a>0,b>0.证明:∫
0
a
f(x)dx+∫
0
b
φ(y)dy≥ab,当且仅当a=φ(b)时上式取等号.
选项
答案
对第二个积分做积分变量变换,并由分部积分,有 ∫
0
a
f(x)dx+∫
0
b
φ(y)dy=∫
0
a
f(x)dx+∫
0
φ(b)
φ(f(x))df(x) =∫
0
a
f(x)dx+∫
0
φ(b)
xdf(x) =∫
0
a
f
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3qS4777K
0
考研数学一
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