设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵． (1)计算并化简PQ． (2)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

admin2020-09-29 8

问题设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵

其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．
(1)计算并化简PQ．
(2)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是α^TA^-1α≠b．

选项

答案(1)由AA*=A*A=|A|E及A*=|A|A^-1可得 [*] (2)[*] 而|P||Q|=|PQ|=[*]=|A|²(b一α^TA^-1α)．由于A为n阶非奇异矩阵，所以|A|≠0，所以|Q|=|A|(b一α^TA^-1α)．因而Q可逆等价于|Q|≠0，而|A|≠0，所以Q可逆的充分必要条件是b一α^TA^-1α≠0，即α^TA^-1α≠b．

解析

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考研数学一

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