2. 考研
  3. 设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵． (1)计算并化简PQ． (2)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵． (1)计算并化简PQ． (2)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

admin2020-09-29  18
问题 设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．
  (1)计算并化简PQ．
  (2)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．
选项
答案(1)由AA*=A*A=|A|E及A*=|A|A-1可得 [*] (2)[*] 而|P||Q|=|PQ|=[*]=|A|2(b一αTA-1α)． 由于A为n阶非奇异矩阵，所以|A|≠0，所以|Q|=|A|(b一αTA-1α)． 因而Q可逆等价于|Q|≠0，而|A|≠0，所以Q可逆的充分必要条件是b一αTA-1α≠0，即αTA-1α≠b．
解析
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考研数学一

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