假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y= —1}=，P{Y=1}=。求： Z=XY的概率密度fZ(z)。

admin2019-07-19 22

问题假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y= —1}=

，P{Y=1}=

。求：
Z=XY的概率密度f_Z(z)。

选项

答案根据题意[*]，X～N(0，1)且X与Y相互独立，所以Z=XY的分布函数为 F_Z(z)=P{XY≤z}=P{Y= —1}P{XY≤z｜Y= —1}+P{Y=1}P{XY≤z｜Y=1} =P{Y= —1}P{—X≤z｜Y= —1}+P{Y=1}P{X≤z｜Y=1} =P{Y= —1}P{X≥—z}+P{Y=1}P{X≤z} =[*][1—P{X＜—z}]+[*]P{X≤z} =[*] 即Z=XY服从标准正态分布，所以其概率密度为f_Z(z)=φ(z)=[*]。

解析

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考研数学一

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求F列函数f(x)在x=0处带拉格朗日余额的n阶泰勒公式：(Ⅰ)f(x)=；(Ⅱ)f(x)=exsinx
设f(x)在(a，b)四次可导，x0∈(a，b)使得f"(x0)=f"(x0)=0，又设f(4)(x)＞0(x∈(a，b))，求证f(x)在(a，b)为凹函数．
设函数f(x)在区间[0，a]上单调增加并有连续的导数，且f(0)=0，f(a)=b，求证：∫0af(x)dx+∫0bg(x)dx=ab，其中g(x)是f(x)的反函数．
求曲线积分I=∫L(y2+z2)dx+(z2+x2)dy+(x2+y2)dz，其中L是球面x2+y2+z2=2bx与柱面x2+y2=2ax(b＞a＞0)的交线(z≥0)．L的方向规定为沿L的方向运动时，从z轴正向往下看，曲线L所围球面部分总在左边(如图10
求I=，其中L是以原点为圆心，R为半径的圆周，取逆时针方向，R≠1．
证明(α，β，γ)2≤α2β2γ2，并且等号成立的充要条件是α，β，γ两两垂直或者α，β，γ中有零向量．
设连续型随机变量X的分布函数为F(x)=，(1)求常数A，B；(2)求X的密度函数f(x)；(3)求P(X＞)．

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