2. 考研
  3. 已知A是3阶方阵，A的每行元素之和为3，且齐次线性方程组Ax=0有通解k1(1，2，一2)T+k2(2，1，2)T，其中k1，k2是任意常数，α=(1，1，1)T． (Ⅰ)证明对任意的一个3维向量β，向量Aβ和α线性相关； (Ⅱ)若β=(3，6，一3)T，

已知A是3阶方阵，A的每行元素之和为3，且齐次线性方程组Ax=0有通解k1(1，2，一2)T+k2(2，1，2)T，其中k1，k2是任意常数，α=(1，1，1)T． (Ⅰ)证明对任意的一个3维向量β，向量Aβ和α线性相关； (Ⅱ)若β=(3，6，一3)T，

admin2018-03-30  58
问题 已知A是3阶方阵，A的每行元素之和为3，且齐次线性方程组Ax=0有通解k1(1，2，一2)T+k2(2，1，2)T，其中k1，k2是任意常数，α=(1，1，1)T．
(Ⅰ)证明对任意的一个3维向量β，向量Aβ和α线性相关；
(Ⅱ)若β=(3，6，一3)T，求Aβ．
选项
答案(Ⅰ)由题设条件，A的每行元素之和为3，则 [*] 即A有特征值λ1=3，对应的特征向量为ξ1=(1，1，1)T． Ax=0有通解k1(1，2，一2)T+k2(2，1，2)T，知A有特征值λ2=λ3=0，对应的特征向量为 ξ2=(1，2，一2)T，ξ3=(2，1，2)T． 因ξ1，ξ2，ξ3线性无关，故任意3维向量β均可由ξ1，ξ2，ξ3线性表出，设 β=x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3， 从而有 Aβ=A(x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3)=x1Aξ1=3x1[*]=3x1α， 得证Aβ和α线性相关． (Ⅱ)[解]当β=(3，6，一3)T时，令β=x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3，解非齐次线性方程组 [*] 对(*)式的增广矩阵作初等行变换，得 [*] 解得 (x1，x2，x3)T=(3，2，一1)T． 即 β=3ξ1+2ξ2—ξ3， Aβ=A(3ξ1+2ξ2—ξ3)=3ξ1=3×3×[*]．
解析
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考研数学三

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