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求单位向量β3,使向量组β1=(1,1,0)T,β2=(1,1,1)T,β3与向量组α1=(0,1,1)T,α2=(1,2,1)T,α3=(1,0,一1)T的秩相同,且β4可由α1,α2,α3线性表示.
求单位向量β3,使向量组β1=(1,1,0)T,β2=(1,1,1)T,β3与向量组α1=(0,1,1)T,α2=(1,2,1)T,α3=(1,0,一1)T的秩相同,且β4可由α1,α2,α3线性表示.
admin
2019-04-22
108
问题
求单位向量β
3
,使向量组β
1
=(1,1,0)
T
,β
2
=(1,1,1)
T
,β
3
与向量组α
1
=(0,1,1)
T
,α
2
=(1,2,1)
T
,α
3
=(1,0,一1)
T
的秩相同,且β
4
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示.
选项
答案
设A=(α
1
,α
2
,α
3
),则[*] 由此可知,r(α
1
,α
2
,α
3
)=2,所以α
1
,α
2
,α
3
线性相关,并且α
1
,α
2
是α
1
,α
2
,α
3
的一个极大线性无关组. 设β
3
=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,由于β
3
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,从而可由α
1
,α
2
线性表示,所以α
1
,α
2
,β
3
线性相关,于是[*]即x
1
一x
2
+x
3
=0. 又因为r(β
1
,β
2
,β
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
)=2,所以β
1
,β
2
,β
3
也线性相关,于是[*] 即x
1
一x
2
=0.由已知β
3
为单位向量,则‖β
3
‖=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
=1. 于是,[*]解得[*] 故可取[*]
解析
本题考查向量组的秩的概念和向量的线性表示,应先求α
1
,α
2
,α
3
的秩,来确定β
1
,β
2
,β
3
的秩,再根据题设建立相应的线性方程组.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3xV4777K
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考研数学二
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