2. 考研
  3. 求单位向量β3，使向量组β1=(1，1，0)T，β2=(1，1，1)T，β3与向量组α1=(0，1，1)T，α2=(1，2，1)T，α3=(1，0，一1)T的秩相同，且β4可由α1,α2,α3线性表示．

求单位向量β3，使向量组β1=(1，1，0)T，β2=(1，1，1)T，β3与向量组α1=(0，1，1)T，α2=(1，2，1)T，α3=(1，0，一1)T的秩相同，且β4可由α1,α2,α3线性表示．

admin2019-04-22  110
问题 求单位向量β3，使向量组β1=(1，1，0)T，β2=(1，1，1)T，β3与向量组α1=(0，1，1)T，α2=(1，2，1)T，α3=(1，0，一1)T的秩相同，且β4可由α1,α2,α3线性表示．
选项
答案设A=(α1,α2,α3)，则[*] 由此可知，r(α1,α2,α3)=2，所以α1,α2,α3线性相关，并且α1,α2是α1,α2,α3的一个极大线性无关组． 设β3=(x1，x2，x3)T，由于β3可由α1,α2,α3线性表示，从而可由α1,α2线性表示，所以α1,α2,β3线性相关，于是[*]即x1一x2+x3=0． 又因为r(β1，β2，β3)=r(α1,α2,α3)=2，所以β1，β2，β3也线性相关，于是[*] 即x1一x2=0．由已知β3为单位向量，则‖β3‖=x12+x22+x32=1． 于是，[*]解得[*] 故可取[*]
解析 本题考查向量组的秩的概念和向量的线性表示，应先求α1,α2,α3的秩，来确定β1，β2，β3的秩，再根据题设建立相应的线性方程组．
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考研数学二

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