2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中， (1)A2。(2)P-1AP。 (3)AT。(4)E-A。 α肯定是其特征向量的矩阵共有( )

设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中， (1)A2。(2)P-1AP。 (3)AT。(4)E-A。 α肯定是其特征向量的矩阵共有( )

admin2019-01-14  16
问题 设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中，
(1)A2。(2)P-1AP。
(3)AT。(4)E-A。
α肯定是其特征向量的矩阵共有(    )
选项 A、1个。
B、2个。
C、3个。
D、4个。
答案B
解析 由题意Aα=λα，α≠0，于是有A2α=A(λα)=λAα=λ2α，α≠0，即α必是A2属于特征值λ2的特征向量。
又    (E-A)α=α-Aα=(1-)α，α≠0，
知α必是矩阵E-A属于特征值1-的特征向量。
    对于(2)和(3)则不一定成立。这是因为
    (P-1AP)(P-1α)=P-1Aα=λP-1α，
  依定义，矩阵P-1AP的特征向量是P-1α。由于P-1α与α不一定共线，因此α不一定是P-1AP的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的。
    线性方程组(λE-A)x=0与(λE-AT)x=0不一定同解，所以α不一定是第二个方程组的解，即α不一定是AT的特征向量。
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考研数学一

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