设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中， (1)A2。(2)P-1AP。 (3)AT。(4)E-A。 α肯定是其特征向量的矩阵共有( )

admin2019-01-14 15

问题设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中，
(1)A²。(2)P^-1AP。
(3)A^T。(4)E-

A。
α肯定是其特征向量的矩阵共有( )

选项 A、1个。
B、2个。
C、3个。
D、4个。

答案B

解析由题意Aα=λα，α≠0，于是有A²α=A(λα)=λAα=λ²α，α≠0，即α必是A²属于特征值λ²的特征向量。
又 (E-

A)α=α-

Aα=(1-

)α，α≠0，
知α必是矩阵E-

A属于特征值1-

的特征向量。
对于(2)和(3)则不一定成立。这是因为
(P^-1AP)(P^-1α)=P^-1Aα=λP^-1α，
依定义，矩阵P^-1AP的特征向量是P^-1α。由于P^-1α与α不一定共线，因此α不一定是P^-1AP的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的。
线性方程组(λE-A)x=0与(λE-A^T)x=0不一定同解，所以α不一定是第二个方程组的解，即α不一定是A^T的特征向量。

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