2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的特征值为1，2，－1，α1＝(2，3，一1)T，α2＝(1，a，2a)T分别是特征值1，2的特征向量，求齐次线性方程组(A*－2E)x＝0的通解．

设3阶实对称矩阵A的特征值为1，2，－1，α1＝(2，3，一1)T，α2＝(1，a，2a)T分别是特征值1，2的特征向量，求齐次线性方程组(A*－2E)x＝0的通解．

admin2020-10-30  31
问题 设3阶实对称矩阵A的特征值为1，2，－1，α1＝(2，3，一1)T，α2＝(1，a，2a)T分别是特征值1，2的特征向量，求齐次线性方程组(A*－2E)x＝0的通解．
选项
答案因为A的特征值为1，2，－1，所以｜A｜＝－2，进一步得A*的特征值为－2，－1，2，A*－2E的特征值为－4，－3，0．由于A是3阶实对称矩阵，从而A*－2E也是3阶实对称矩阵，因此A*一2E相似于对角矩阵[*]，故[*] 于是齐次线性方程组(A*－2E)x＝0的基础解系中含有3－R(A*－2E)＝1个线性无关的解向量． 由于实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，所以α1Tα2＝2＋3a－2a＝0，由此得a＝－2． 设A的对应于特征值－1的特征向量为α3＝(x1，x2，x3)T，则[*]对上面齐次线性方程组的系数矩阵实施初等行变换，得[*] 其同解方程组为[*] 取α3＝(2，－1，1)T． 因为A的对应于特征值－1的特征向量是A*的对应于特征值2的特征向量，也是A*－2E 对应于特征值0的特征向量，即是齐次线性方程组(A*－2E)x＝0的一个基础解系，故(A*－2E)x＝0的通解为x＝k(2，－1，1)T，其中K为任意常数．
解析
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考研数学三

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