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设3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,-1,α1=(2,3,一1)T,α2=(1,a,2a)T分别是特征值1,2的特征向量,求齐次线性方程组(A*-2E)x=0的通解.
设3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,-1,α1=(2,3,一1)T,α2=(1,a,2a)T分别是特征值1,2的特征向量,求齐次线性方程组(A*-2E)x=0的通解.
admin
2020-10-30
65
问题
设3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,-1,α
1
=(2,3,一1)
T
,α
2
=(1,a,2a)
T
分别是特征值1,2的特征向量,求齐次线性方程组(A
*
-2E)x=0的通解.
选项
答案
因为A的特征值为1,2,-1,所以|A|=-2,进一步得A
*
的特征值为-2,-1,2,A
*
-2E的特征值为-4,-3,0.由于A是3阶实对称矩阵,从而A
*
-2E也是3阶实对称矩阵,因此A
*
一2E相似于对角矩阵[*],故[*] 于是齐次线性方程组(A
*
-2E)x=0的基础解系中含有3-R(A
*
-2E)=1个线性无关的解向量. 由于实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的,所以α
1
T
α
2
=2+3a-2a=0,由此得a=-2. 设A的对应于特征值-1的特征向量为α
3
=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,则[*]对上面齐次线性方程组的系数矩阵实施初等行变换,得[*] 其同解方程组为[*] 取α
3
=(2,-1,1)
T
. 因为A的对应于特征值-1的特征向量是A
*
的对应于特征值2的特征向量,也是A
*
-2E 对应于特征值0的特征向量,即是齐次线性方程组(A
*
-2E)x=0的一个基础解系,故(A
*
-2E)x=0的通解为x=k(2,-1,1)
T
,其中K为任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4Dx4777K
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考研数学三
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