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(17年)设函数f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数,且f(1)>0,证明: (I)方程f(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根; (Ⅱ)方程f(x)f"(x)+(f’(x))2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根.
(17年)设函数f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数,且f(1)>0,证明: (I)方程f(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根; (Ⅱ)方程f(x)f"(x)+(f’(x))2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根.
admin
2019-03-21
65
问题
(17年)设函数f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数,且f(1)>0,
证明:
(I)方程f(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根;
(Ⅱ)方程f(x)f"(x)+(f’(x))
2
=0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根.
选项
答案
(I)由题设知f(x)连续且[*]存在,所以f(0)=0. 由[*]与极限的保号性可知,存在a∈(0,1)使得[*]即f(a)<0. 又f(1)>0,所以存在b∈(a,1)[*](0,1),使得f(b)=0,即方程f(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根. (Ⅱ)由(I)知f(0)=f(b)=0,根据罗尔定理,存在c∈(0,b)[*](0,1),使得 f’(c)=0. 令F(x)=f(x)f’(x),由题设知F(x)在区间[0,b]上可导,且 F(0)=0,F(c)=0,F(b)=0. 根据罗尔定理,存在ξ∈(0,c),η∈(c,b),使得F’(ξ)=F’(η)=0,即ξ,η是方程f(x)f"(x)+(f’(x))
2
=0在区间(0,1)内的两个不同实根.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4GV4777K
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考研数学二
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