2. 考研
  3. 已知圆x2+y2=a2，求此圆绕x=-b(b＞a＞0)旋转所生成的旋转体的体积和表面积．

已知圆x2+y2=a2，求此圆绕x=-b(b＞a＞0)旋转所生成的旋转体的体积和表面积．

admin2019-08-21  56
问题 已知圆x2+y2=a2，求此圆绕x=-b(b＞a＞0)旋转所生成的旋转体的体积和表面积．
选项
答案(I)体积如图3—3所示， [*] 方法一：取积分变量为y，变化区间[0，a]，体积元素为薄圆环，则 [*] 则体积为 [*] 方法二：取积分变量为x，变化区间为[-a，a]，体积元素为圆柱形薄壳，则 [*] 则体积为 [*] 由于[*]为奇函数，在[-a，a]上的积分为0，[*]为偶函数，令x=asin t．所以 [*] (Ⅱ)表面积 [*]
解析 根据图形的对称性，只需对x轴以上的部分进行计算即可．
错例分析:在求旋转体表面积S时，若将面积元素也视为圆柱形薄壳的表面积，则有dS=2π(b+x)dx，由此得出的错误结果．错误的原因在于：所找的微元dS=2π(b+x)dx与△S之差不是比dx高阶的无穷小．在用元素法解决实际问题时，这步是需要验证的．
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考研数学二

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