设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从参数为λ的指数分布，其中λ＞0未知．从这批器件中任取n只在时刻t=0时投入独立寿命试验，试验进行到预订时间T0结束，此时有k(0＜k＜n)只器件失效． (Ⅰ)求一只器件在时间T0未失效的概率； (Ⅱ)求λ的最大似然估计

admin2019-06-04 33

问题设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从参数为λ的指数分布，其中λ＞0未知．从这批器件中任取n只在时刻t=0时投入独立寿命试验，试验进行到预订时间T₀结束，此时有k(0＜k＜n)只器件失效．
(Ⅰ)求一只器件在时间T₀未失效的概率；
(Ⅱ)求λ的最大似然估计值．

选项

答案(Ⅰ)记T的分布函数为F(t)， [*] 一只器件在t=0时投入试验，则在时间T₀以前失效的概率为P{T≤T₀}=F(T₀)=1－e^－λT0，在时间T^－1未失效的概率为 P{T＞T^－1}=1一F(T^－1)=e^－λT0． (Ⅱ)考虑事件A={试验直至时间T₀为止，有K只器件失效，而有N－K只未失效}的概率．由于各只器件的试验是相互独立的，因此事件A的概率为 L(λ)=C_n ^k(1－e^－λT0)^k(e^－λT0)^n－k，这就是所求的似然函数．取对数得 lnL(λ)一1nC_n^k+kln(1一e^－λT0)+(n－k)(一λT₀)．令[*] 解得A的最大似然估计值为 [*]

解析

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考研数学一

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