(2012年试题,三)已知二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2. 求正交变换x=Qy将f化为标准形.

admin2013-12-27  42

问题 (2012年试题,三)已知二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2.
求正交变换x=Qy将f化为标准形.

选项

答案将a=一1代入ATA中,得ATA=[*] 令[*] 得ATA的特征值为λ1=0,λ2=2,λ3=6.分别将特征值λ1,λ2,λ3代入(λiE—ATA)X=O,求得对应各自特征值的特征向量为[*]再分别将ξ1,ξ2,ξ3单位化,得[*]则令Q=(η1,η2,η3),则f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x=(Qy)T(ATA)(Qy)=yTQTATAQy=2y22+6y32即为f的标准形.

解析
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