(2012年试题，三)已知二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2．求正交变换x=Qy将f化为标准形．

admin2013-12-27 43

问题 (2012年试题，三)已知

二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^T(A^TA)x的秩为2．
求正交变换x=Qy将f化为标准形．

选项

答案将a=一1代入A^TA中，得A^TA=[*] 令[*] 得A^TA的特征值为λ₁=0，λ₂=2，λ₃=6．分别将特征值λ₁，λ₂，λ₃代入(λ_iE—A^TA)X=O，求得对应各自特征值的特征向量为[*]再分别将ξ₁，ξ₂，ξ₃单位化，得[*]则令Q=(η₁，η₂，η₃)，则f(x₁，x₂，x₃)=x^T(A^TA)x=(Qy)^T(A^TA)(Qy)=y^TQ^TA^TAQy=2y₂²+6y₃²即为f的标准形．

解析

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考研数学一

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