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  3. 设二次型f(x，y，z)＝2x2＋y2－4xy－4yz，用正交变换x＝Qy将其化为标准形，并写出Q；

设二次型f(x，y，z)＝2x2＋y2－4xy－4yz，用正交变换x＝Qy将其化为标准形，并写出Q；

admin2021-04-07  56
问题 设二次型f(x，y，z)＝2x2＋y2－4xy－4yz，用正交变换x＝Qy将其化为标准形，并写出Q；
选项
答案f(x，y，z)＝xT[*]x，其二次矩阵A＝[*]，x＝(x，y，z)T，令 ∣λE－A∣＝[*]＝(λ＋2)(λ－1)(λ－4)＝0， 得A的特征值为λ1＝－2，λ2＝1，λ3＝4。 当λ＝－2时， (－2E－A)x＝[*]x＝0， 得特征向量ξ1＝(1，2，2)T， 当λ＝1时， (E－A)x＝[*]x＝0， 得特征向量ξ2＝(2，－2，1)T 当λ＝4时， (4E－A)x＝[*]x＝0， 得特征向量ξ1＝(2，－2，1)T ξ1，ξ2，ξ3已相互正交，只需单位化： η1＝(1／3，2／3，2／3)T η2＝(2／3，2／3，－2／3)T η3＝(2／3，－2／3，1／3)T 令Q＝(η1，η2，η3)＝[*]，即为所求正交矩阵。 记y＝(u，v，w)T，则经x＝Qy，有 f(x，y，z)＝xTAx＝yTQTAQy＝yTAy＝－2u2＋v2＋4w2
解析
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考研数学二

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