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设二次型f(x,y,z)=2x2+y2-4xy-4yz,用正交变换x=Qy将其化为标准形,并写出Q;
设二次型f(x,y,z)=2x2+y2-4xy-4yz,用正交变换x=Qy将其化为标准形,并写出Q;
admin
2021-04-07
52
问题
设二次型f(x,y,z)=2x
2
+y
2
-4xy-4yz,用正交变换x=Qy将其化为标准形,并写出Q;
选项
答案
f(x,y,z)=x
T
[*]x,其二次矩阵A=[*],x=(x,y,z)
T
,令 ∣λE-A∣=[*]=(λ+2)(λ-1)(λ-4)=0, 得A的特征值为λ
1
=-2,λ
2
=1,λ
3
=4。 当λ=-2时, (-2E-A)x=[*]x=0, 得特征向量ξ
1
=(1,2,2)
T
, 当λ=1时, (E-A)x=[*]x=0, 得特征向量ξ
2
=(2,-2,1)
T
当λ=4时, (4E-A)x=[*]x=0, 得特征向量ξ
1
=(2,-2,1)
T
ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
已相互正交,只需单位化: η
1
=(1/3,2/3,2/3)
T
η
2
=(2/3,2/3,-2/3)
T
η
3
=(2/3,-2/3,1/3)
T
令Q=(η
1
,η
2
,η
3
)=[*],即为所求正交矩阵。 记y=(u,v,w)
T
,则经x=Qy,有 f(x,y,z)=x
T
Ax=y
T
Q
T
AQy=y
T
Ay=-2u
2
+v
2
+4w
2
解析
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0
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