2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A=(a1，a2，a3)有二重特征值λ1=λ2=1，且a1+2a2=a3，A*是A的伴随矩阵． 求正交变换x=Qy化二次型f(x1，x2，x3)=xTAx为标准形；

设3阶实对称矩阵A=(a1，a2，a3)有二重特征值λ1=λ2=1，且a1+2a2=a3，A*是A的伴随矩阵． 求正交变换x=Qy化二次型f(x1，x2，x3)=xTAx为标准形；

admin2022-05-20  28
问题 设3阶实对称矩阵A=(a1，a2，a3)有二重特征值λ1=λ2=1，且a1+2a2=a3，A*是A的伴随矩阵．
求正交变换x=Qy化二次型f(x1，x2，x3)=xTAx为标准形；
选项
答案由α1+2α2=α3，知 [*] 故λ3=0是A的特征值，β3=(1，2，-1)T是其对应的特征向量． 令λ1=λ2=1的特征向量为β=(x1，x2，x3)T．由A为实对称矩阵，知βTβ3=0，即 x1+2x2-x3=0， 解得β1=(-2，1，0)T，β2=(1，0，1)T，为λ1=λ2=1对应的特征向量． 对β1，β2正交化，得 η1=β1=(-2，1，0)T， η2=β2·(β2，β1)/(β1，β1)·β1-1/5(1，2，5)T 单位化，得 γ1=1/[*](-2，1，0)T，γ2=1/[*](1，2，5)T，γ3=1/[*](1，2，1)T． 令Q=(γ1，γ2，γ3)，则Q为正交矩阵，正交变换为x=Qy，标准形为y12+y22．
解析
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考研数学三

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