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设3阶实对称矩阵A=(a1,a2,a3)有二重特征值λ1=λ2=1,且a1+2a2=a3,A*是A的伴随矩阵. 求正交变换x=Qy化二次型f(x1,x2,x3)=xTAx为标准形;
设3阶实对称矩阵A=(a1,a2,a3)有二重特征值λ1=λ2=1,且a1+2a2=a3,A*是A的伴随矩阵. 求正交变换x=Qy化二次型f(x1,x2,x3)=xTAx为标准形;
admin
2022-05-20
111
问题
设3阶实对称矩阵A=(a
1
,a
2
,a
3
)有二重特征值λ
1
=λ
2
=1,且a
1
+2a
2
=a
3
,A
*
是A的伴随矩阵.
求正交变换x=Qy化二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax为标准形;
选项
答案
由α
1
+2α
2
=α
3
,知 [*] 故λ
3
=0是A的特征值,β
3
=(1,2,-1)
T
是其对应的特征向量. 令λ
1
=λ
2
=1的特征向量为β=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
.由A为实对称矩阵,知β
T
β
3
=0,即 x
1
+2x
2
-x
3
=0, 解得β
1
=(-2,1,0)
T
,β
2
=(1,0,1)
T
,为λ
1
=λ
2
=1对应的特征向量. 对β
1
,β
2
正交化,得 η
1
=β
1
=(-2,1,0)
T
, η
2
=β
2
·(β
2
,β
1
)/(β
1
,β
1
)·β
1
-1/5(1,2,5)
T
单位化,得 γ
1
=1/[*](-2,1,0)
T
,γ
2
=1/[*](1,2,5)
T
,γ
3
=1/[*](1,2,1)
T
. 令Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
),则Q为正交矩阵,正交变换为x=Qy,标准形为y
1
2
+y
2
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4UR4777K
0
考研数学三
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