设向量α1,α2,…,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,即Aβ≠0,试证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.

admin2020-09-25  61

问题 设向量α1,α2,…,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,即Aβ≠0,试证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.

选项

答案若有一组数k,k1,…,kt使得kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+…+kt(β+αt)=0,① 由于α1,α2,…,αt是Ax=0的解,所以Aαi=0(i=1,2,…,t),用A左乘①式两端,则有 kAβ+k1(Aβ+Aα1)+…+kt(Aβ+Aαt)=0, 即(k+k1+…+kt)Aβ=0,而Aβ≠0,所以k+k1+…+kt=0. 而由①式整理可得:(k+k1+…+kt)β+k1α1+k2α2+…+ktαt=0,所以k1α1+k2α2+…+ktαt=0.因为α1,α2,…,αt是基础解系,因而线性无关,所以k1=k2=…=kt=0. 而由k+k1+…+kt=0,可得k=0.所以向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.

解析
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