2. 考研
  3. 设向量α1，α2，…，αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0，试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

设向量α1，α2，…，αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0，试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

admin2020-09-25  102
问题 设向量α1，α2，…，αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0，试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
选项
答案若有一组数k，k1，…，kt使得kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+…+kt(β+αt)=0，① 由于α1，α2，…，αt是Ax=0的解，所以Aαi=0(i=1，2，…，t)，用A左乘①式两端，则有 kAβ+k1(Aβ+Aα1)+…+kt(Aβ+Aαt)=0， 即(k+k1+…+kt)Aβ=0，而Aβ≠0，所以k+k1+…+kt=0． 而由①式整理可得：(k+k1+…+kt)β+k1α1+k2α2+…+ktαt=0，所以k1α1+k2α2+…+ktαt=0．因为α1，α2，…，αt是基础解系，因而线性无关，所以k1=k2=…=kt=0． 而由k+k1+…+kt=0，可得k=0．所以向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
解析
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考研数学三

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