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设向量α1,α2,…,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,即Aβ≠0,试证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.
设向量α1,α2,…,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,即Aβ≠0,试证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.
admin
2020-09-25
95
问题
设向量α
1
,α
2
,…,α
t
是齐次方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,即Aβ≠0,试证明:向量组β,β+α
1
,β+α
2
,…,β+α
t
线性无关.
选项
答案
若有一组数k,k
1
,…,k
t
使得kβ+k
1
(β+α
1
)+k
2
(β+α
2
)+…+k
t
(β+α
t
)=0,① 由于α
1
,α
2
,…,α
t
是Ax=0的解,所以Aα
i
=0(i=1,2,…,t),用A左乘①式两端,则有 kAβ+k
1
(Aβ+Aα
1
)+…+k
t
(Aβ+Aα
t
)=0, 即(k+k
1
+…+k
t
)Aβ=0,而Aβ≠0,所以k+k
1
+…+k
t
=0. 而由①式整理可得:(k+k
1
+…+k
t
)β+k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
t
α
t
=0,所以k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
t
α
t
=0.因为α
1
,α
2
,…,α
t
是基础解系,因而线性无关,所以k
1
=k
2
=…=k
t
=0. 而由k+k
1
+…+k
t
=0,可得k=0.所以向量组β,β+α
1
,β+α
2
,…,β+α
t
线性无关.
解析
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0
考研数学三
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