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设向量α1，α2，…，αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0，试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
设向量α1，α2，…，αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0，试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
admin
2020-09-25
87
问题
设向量α
1
，α
2
，…，α
t
是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0，试证明：向量组β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
线性无关．
选项
答案
若有一组数k，k
1
，…，k
t
使得kβ+k
1
(β+α
1
)+k
2
(β+α
2
)+…+k
t
(β+α
t
)=0，① 由于α
1
，α
2
，…，α
t
是Ax=0的解，所以Aα
i
=0(i=1，2，…，t)，用A左乘①式两端，则有 kAβ+k
1
(Aβ+Aα
1
)+…+k
t
(Aβ+Aα
t
)=0， 即(k+k
1
+…+k
t
)Aβ=0，而Aβ≠0，所以k+k
1
+…+k
t
=0． 而由①式整理可得：(k+k
1
+…+k
t
)β+k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
t
α
t
=0，所以k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
t
α
t
=0．因为α
1
，α
2
，…，α
t
是基础解系，因而线性无关，所以k
1
=k
2
=…=k
t
=0． 而由k+k
1
+…+k
t
=0，可得k=0．所以向量组β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4Wx4777K
0
考研数学三
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