(2012年)已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex． (Ⅰ)求f(x)的表达式； (Ⅱ)求曲线y=f(x2)∫0x(一t2)出的拐点．

admin2019-03-19 105

问题 (2012年)已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2e^x．
(Ⅰ)求f(x)的表达式；
(Ⅱ)求曲线y=f(x²)∫₀^x(一t²)出的拐点．

选项

答案(Ⅰ)联立 [*] 得f’(x)一3f(x)=一2e^x，因此 f(x)=e^∫3dx(j(一2e^x)e^－∫3dxdx+C)=e^x+Ce^3x 代入f’’(x)+f(x)=2e^x，得C=0，所以 f(x)=e^x． (Ⅱ)y=f(x²)∫₀^xf(一t²)dt=e^x²∫₀^x e^－t²dt y’=2xe^x²∫₀^x e^－t²dt+1 y’’=2x+2(1+2x²)e^x²∫₀^x e^－t² dt 当x＜0时，y’’＜0；当x＞0时，y’’＞0，又y(0)=0，所以曲线的拐点为(0，0)．

解析

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考研数学三

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改变积分次序∫0adxf(x，y)dy．
改变积分次序f(x，y)dy．
已知(x，y)在以点(0，0)，(1，一1)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布。(Ⅰ)求(X，Y)的联合密度函数f(x，y)；(Ⅱ)求边缘密度函数fX(x)，fY(y)及条件密度函数fX|Y(x|y)，fY|X(y|x)；并问X与Y是否独立；
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