2. 考研
  3. (2012年)已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex． (Ⅰ)求f(x)的表达式； (Ⅱ)求曲线y=f(x2)∫0x(一t2)出的拐点．

(2012年)已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex． (Ⅰ)求f(x)的表达式； (Ⅱ)求曲线y=f(x2)∫0x(一t2)出的拐点．

admin2019-03-19  106
问题 (2012年)已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex．
(Ⅰ)求f(x)的表达式；
(Ⅱ)求曲线y=f(x2)∫0x(一t2)出的拐点．
选项
答案(Ⅰ)联立 [*] 得f’(x)一3f(x)=一2ex，因此 f(x)=e∫3dx(j(一2ex)e－∫3dxdx+C)=ex+Ce3x 代入f’’(x)+f(x)=2ex，得C=0，所以 f(x)=ex． (Ⅱ)y=f(x2)∫0xf(一t2)dt=ex2∫0x e－t2dt y’=2xex2∫0x e－t2dt+1 y’’=2x+2(1+2x2)ex2∫0x e－t2 dt 当x＜0时，y’’＜0；当x＞0时，y’’＞0，又y(0)=0，所以曲线的拐点为(0，0)．
解析
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考研数学三

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