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(2012年)已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex. (Ⅰ)求f(x)的表达式; (Ⅱ)求曲线y=f(x2)∫0x(一t2)出的拐点.
(2012年)已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex. (Ⅰ)求f(x)的表达式; (Ⅱ)求曲线y=f(x2)∫0x(一t2)出的拐点.
admin
2019-03-19
106
问题
(2012年)已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2e
x
.
(Ⅰ)求f(x)的表达式;
(Ⅱ)求曲线y=f(x
2
)∫
0
x
(一t
2
)出的拐点.
选项
答案
(Ⅰ)联立 [*] 得f’(x)一3f(x)=一2e
x
,因此 f(x)=e
∫3dx
(j(一2e
x
)e
-∫3dx
dx+C)=e
x
+Ce
3x
代入f’’(x)+f(x)=2e
x
,得C=0,所以 f(x)=e
x
. (Ⅱ)y=f(x
2
)∫
0
x
f(一t
2
)dt=e
x
2
∫
0
x
e
-t
2
dt y’=2xe
x
2
∫
0
x
e
-t
2
dt+1 y’’=2x+2(1+2x
2
)e
x
2
∫
0
x
e
-t
2
dt 当x<0时,y’’<0;当x>0时,y’’>0,又y(0)=0,所以曲线的拐点为(0,0).
解析
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0
考研数学三
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