2. 考研
  3. 设对任意x＞0，曲线y=f(x)上点(x，f(x))处的切线在y轴上的截距等于，求f(x)的一般表达式．

设对任意x＞0，曲线y=f(x)上点(x，f(x))处的切线在y轴上的截距等于，求f(x)的一般表达式．

admin2021-08-02  39
问题 设对任意x＞0，曲线y=f(x)上点(x，f(x))处的切线在y轴上的截距等于，求f(x)的一般表达式．
选项
答案曲线y=f(x)在其上点(x，f(x))处的切线方程可设为Y一f(x)=f’(x)(X—x)． 令X=0，可得在y轴上的截距为f(x)一xf’(x)．依题设有 f(x)—xf’(x)=[*]∫0xf(t)dt，即∫0xf(t)=xf(x)—x2f’(x). 将上式两端关于x求导，可得 xf”(x)+f’(x)=0． 令u=f’(x)，u’=f”(x)，上述方程可化为xu’+u=0．分离变量且两端积分得 ln｜u｜=一ln｜x｜+ln C(C＞0)， 题中已知x＞0，故 ln｜u｜=一lnx+In C=[*] [*] 即 [*] 两端分别积分可得f(x)=C1lnx+C2．
解析
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考研数学二

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