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设对任意x>0,曲线y=f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于,求f(x)的一般表达式.
设对任意x>0,曲线y=f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于,求f(x)的一般表达式.
admin
2021-08-02
58
问题
设对任意x>0,曲线y=f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于
,求f(x)的一般表达式.
选项
答案
曲线y=f(x)在其上点(x,f(x))处的切线方程可设为Y一f(x)=f’(x)(X—x). 令X=0,可得在y轴上的截距为f(x)一xf’(x).依题设有 f(x)—xf’(x)=[*]∫
0
x
f(t)dt,即∫
0
x
f(t)=xf(x)—x
2
f’(x). 将上式两端关于x求导,可得 xf”(x)+f’(x)=0. 令u=f’(x),u’=f”(x),上述方程可化为xu’+u=0.分离变量且两端积分得 ln|u|=一ln|x|+ln C(C>0), 题中已知x>0,故 ln|u|=一lnx+In C=[*] [*] 即 [*] 两端分别积分可得f(x)=C
1
lnx+C
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4Xy4777K
0
考研数学二
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