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设α1，α2，α3，α4为4维列向量组，其中α1，α2，α1线性尤关，α4=α1+α2+2α3，记A=(α1-α2，α2+α3，-α1+α2+α3)，且方程组Ax=α4有无穷多解，求： (1)常数a的值； (2)方程组Ax=α4的通解。
设α1，α2，α3，α4为4维列向量组，其中α1，α2，α1线性尤关，α4=α1+α2+2α3，记A=(α1-α2，α2+α3，-α1+α2+α3)，且方程组Ax=α4有无穷多解，求： (1)常数a的值； (2)方程组Ax=α4的通解。
admin
2021-04-16
69
问题
设α
1
，α
2
，α
3
，α
4
为4维列向量组，其中α
1
，α
2
，α
1
线性尤关，α
4
=α
1
+α
2
+2α
3
，记A=(α
1
-α
2
，α
2
+α
3
，-α
1
+α
2
+α
3
)，且方程组Ax=α
4
有无穷多解，求：
(1)常数a的值；
(2)方程组Ax=α
4
的通解。
选项
答案
(1)由题设，x为3维列向量，设x=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
，则 x
1
(α
1
-α
2
)+x
2
(α
2
-α
3
)+x
3
(α
1
+aα
2
+α
3
)-α
1
+α
2
+2α
3
，整理得(x
1
-x
3
-1)α
1
+(-x
1
+x
2
+ax
3
-1)α
3
+(x
2
+x
3
-2)α
3
=0。 由α
1
，α
2
，α
3
线性无关，故 [*] (2)由题设，方程组(*)有无穷多解，于是记(B｜β)=[*] 由r(B)=r(B｜β)＜3，有2-a=0，即a=2，(2)由(1)得Ax=α
4
的同解方程组为[*]故其通解为(x
1
，x
2
，x
3
)
T
=k(1，-1，1)
T
+(1，2，0)
T
，k是任意常数。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4Zx4777K
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考研数学三
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