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设α1,α2,α3,α4为4维列向量组,其中α1,α2,α1线性尤关,α4=α1+α2+2α3,记A=(α1-α2,α2+α3,-α1+α2+α3),且方程组Ax=α4有无穷多解,求: (1)常数a的值; (2)方程组Ax=α4的通解。
设α1,α2,α3,α4为4维列向量组,其中α1,α2,α1线性尤关,α4=α1+α2+2α3,记A=(α1-α2,α2+α3,-α1+α2+α3),且方程组Ax=α4有无穷多解,求: (1)常数a的值; (2)方程组Ax=α4的通解。
admin
2021-04-16
70
问题
设α
1
,α
2
,α
3
,α
4
为4维列向量组,其中α
1
,α
2
,α
1
线性尤关,α
4
=α
1
+α
2
+2α
3
,记A=(α
1
-α
2
,α
2
+α
3
,-α
1
+α
2
+α
3
),且方程组Ax=α
4
有无穷多解,求:
(1)常数a的值;
(2)方程组Ax=α
4
的通解。
选项
答案
(1)由题设,x为3维列向量,设x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,则 x
1
(α
1
-α
2
)+x
2
(α
2
-α
3
)+x
3
(α
1
+aα
2
+α
3
)-α
1
+α
2
+2α
3
,整理得(x
1
-x
3
-1)α
1
+(-x
1
+x
2
+ax
3
-1)α
3
+(x
2
+x
3
-2)α
3
=0。 由α
1
,α
2
,α
3
线性无关,故 [*] (2)由题设,方程组(*)有无穷多解,于是记(B|β)=[*] 由r(B)=r(B|β)<3,有2-a=0,即a=2,(2)由(1)得Ax=α
4
的同解方程组为[*]故其通解为(x
1
,x
2
,x
3
)
T
=k(1,-1,1)
T
+(1,2,0)
T
,k是任意常数。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4Zx4777K
0
考研数学三
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