2. 考研
  3. [2003年] 设二次型 f(x2，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3 (b＞0)， 其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12． 求a，b的值；

[2003年] 设二次型 f(x2，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3 (b＞0)， 其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12． 求a，b的值；

admin2019-06-25  56
问题 [2003年]  设二次型
             f(x2，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3  (b＞0)，
其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12．
求a，b的值；
选项
答案解一 二次型f的矩阵为[*]设A有特征值为λ1，λ2，λ3．由命题2．5．2．1得到 λ1+λ2+λ3=a+2+(－2)=1， [*] 解之得a=1，b=2(因b＞0，故b=－2舍去)． 解二 二次型厂的矩阵为[*]A的特征多项式为 [*] 设A的特征值为λ1，λ2，λ3，则由上式得到λ1=2，λ2+λ3=a－2，λ2λ3=－(2a+b2)． 又由题设有 λ1+λ2+λ3=2+a－2=a=1， λ1λ2λ3=－2(2a+b2)=－12． 解之得a=1，b=2(因b＞0，故b=－2舍去)． 注：命题2．5．2．1 设λ1，λ2，…，λn，为n阶矩阵A=[aij]的n个特征值，则(1)λ1+λ2+…+λn=a11+a22+…+ann=tr(A)；(2)λ1λ2…λn=|A|．
解析
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考研数学三

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