设A是m×n阶实矩阵，证明： r(ATA)=r(A)；

admin2016-07-22 69

问题设A是m×n阶实矩阵，证明：
r(A^TA)=r(A)；

选项

答案设r(A)=r₁，r(A^TA)=r₂，由于AX=0的解都满足(A^TA)X=A^T(AX)=0，故AX=0的基础解系(含n-r₁个无关解)含于A^TAX=0的某个基础解系(含n-r₂个无关解)之中，所以n-r₁≤n-r₂，故有r₂≤r₁，即 r(A^TA)≤r(A)． ① 又当A^TAX=0时(X为实向量)，必有X^TA^TAX=0，即(AX)^TAX=0，设AX=[b₁，b₂，…，b_m]^T，则(AX)^T(AX)=[*]，必有b₁=b₂=…=b_m=0，即AX=0，故方程组A^TAX=0的解必满足方程组Ax=0，从而有 n-r(A^TA)≤≤n-r(A)， r(A)≤r(A^TA)． ② 由①，②得证r(A)=r(A^TA)．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4cw4777K

考研数学一

相关试题推荐

设a1，a2，a3是四元非齐次线性方程组Ax＝b的三个解向量，且r(A)＝3，a1＋a2＝(2，0，－2，4)T，a1＋a3＝(3，1，0，5)T，则Ax＝b的通解为________
已知dx＝1(b＞0)，则()
设P(x0，y0)为椭圆3x2＋a2y2＝3a2(a＞0)在第一象限部分上的一点，已知在P点处椭圆的切线、椭圆及两坐标轴所围图形D的面积的最小值为2(1－1/4π)求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V
设y＝f(x)由参数方程确定，则nf(2/n)＝________
y＝f(2x－1/x＋1)，且f’(x)＝lnd1/2，则d2y/dx2∣x-1________
设矩阵A＝与对角矩阵A相似求方程组(－2E－A*)x＝0的通解
设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，E是n阶单位矩阵，若AB=E，则()．
设向量组(Ⅰ)：a1，a2，…，ar可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs线性表示，则()．
已知动点P在曲线y=x3上运动，记坐标原点与点P之间的距离为l，若点P的横坐标对时间的变化率为常数v0，则当点P运动到点(1，1)时，l对时间的变化率是________．

随机试题

A．异烟肼、吡嗪酰胺B．左旋氧氟沙星C．链霉素D．糖皮质激素E．利福平
女性，60岁，因右上腹痛伴发热3天入院，2个月前因心衰住院，治疗后好转。体检：巩膜无黄染，心率120次／分，右上腹压痛、肌紧张，Murphy征(+)，可扪及肿大的胆囊最可能的诊断是
关于溃疡性结肠炎的叙述，正确的是
下列关于刑事司法协助的说法中正确的有哪些?()
关于资质认定的概念，下列描述正确的是()。
将反应MnO2+HCl→MnCl2+Cl2+H2O配平后，方程式中MnCl2的系数是：
下列报表中不可以设计成预置报表的是()。
与不公开直接发行股票方式相比，公开间接发行股票方式的特点是()。
是国家的法律监督机关。
2009年民政事业费占国家财政支出比重由2008年的3．4％下降到2．9％，比上年降低了0．5个百分点，比2001年提高了1．4个百分点。2002年至2006年间，中央转移支付年增长额最大的年份是()。

最新回复(0)

设A是m×n阶实矩阵，证明： r(ATA)=r(A)；

考研数学一

设a1，a2，a3是四元非齐次线性方程组Ax＝b的三个解向量，且r(A)＝3，a1＋a2＝(2，0，－2，4)T，a1＋a3＝(3，1，0，5)T，则Ax＝b的通解为________

已知dx＝1(b＞0)，则()

设P(x0，y0)为椭圆3x2＋a2y2＝3a2(a＞0)在第一象限部分上的一点，已知在P点处椭圆的切线、椭圆及两坐标轴所围图形D的面积的最小值为2(1－1/4π)求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V

设y＝f(x)由参数方程确定，则nf(2/n)＝________

y＝f(2x－1/x＋1)，且f’(x)＝lnd1/2，则d2y/dx2∣x-1________

设矩阵A＝与对角矩阵A相似求方程组(－2E－A*)x＝0的通解

设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，E是n阶单位矩阵，若AB=E，则()．

设向量组(Ⅰ)：a1，a2，…，ar可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs线性表示，则()．

已知动点P在曲线y=x3上运动，记坐标原点与点P之间的距离为l，若点P的横坐标对时间的变化率为常数v0，则当点P运动到点(1，1)时，l对时间的变化率是________．

A．异烟肼、吡嗪酰胺B．左旋氧氟沙星C．链霉素D．糖皮质激素E．利福平

女性，60岁，因右上腹痛伴发热3天入院，2个月前因心衰住院，治疗后好转。体检：巩膜无黄染，心率120次／分，右上腹压痛、肌紧张，Murphy征(+)，可扪及肿大的胆囊最可能的诊断是

关于溃疡性结肠炎的叙述，正确的是

下列关于刑事司法协助的说法中正确的有哪些?()

关于资质认定的概念，下列描述正确的是()。

将反应MnO2+HCl→MnCl2+Cl2+H2O配平后，方程式中MnCl2的系数是：

下列报表中不可以设计成预置报表的是()。

与不公开直接发行股票方式相比，公开间接发行股票方式的特点是()。

是国家的法律监督机关。

2009年民政事业费占国家财政支出比重由2008年的3．4％下降到2．9％，比上年降低了0．5个百分点，比2001年提高了1．4个百分点。2002年至2006年间，中央转移支付年增长额最大的年份是()。