设A是m×n阶实矩阵，证明： r(ATA)=r(A)；

admin2016-07-22 32

问题设A是m×n阶实矩阵，证明：
r(A^TA)=r(A)；

选项

答案设r(A)=r₁，r(A^TA)=r₂，由于AX=0的解都满足(A^TA)X=A^T(AX)=0，故AX=0的基础解系(含n-r₁个无关解)含于A^TAX=0的某个基础解系(含n-r₂个无关解)之中，所以n-r₁≤n-r₂，故有r₂≤r₁，即 r(A^TA)≤r(A)． ① 又当A^TAX=0时(X为实向量)，必有X^TA^TAX=0，即(AX)^TAX=0，设AX=[b₁，b₂，…，b_m]^T，则(AX)^T(AX)=[*]，必有b₁=b₂=…=b_m=0，即AX=0，故方程组A^TAX=0的解必满足方程组Ax=0，从而有 n-r(A^TA)≤≤n-r(A)， r(A)≤r(A^TA)． ② 由①，②得证r(A)=r(A^TA)．

解析

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