设A是m×n阶实矩阵，证明： r(ATA)=r(A)；

admin2016-07-22 54

问题设A是m×n阶实矩阵，证明：
r(A^TA)=r(A)；

选项

答案设r(A)=r₁，r(A^TA)=r₂，由于AX=0的解都满足(A^TA)X=A^T(AX)=0，故AX=0的基础解系(含n-r₁个无关解)含于A^TAX=0的某个基础解系(含n-r₂个无关解)之中，所以n-r₁≤n-r₂，故有r₂≤r₁，即 r(A^TA)≤r(A)． ① 又当A^TAX=0时(X为实向量)，必有X^TA^TAX=0，即(AX)^TAX=0，设AX=[b₁，b₂，…，b_m]^T，则(AX)^T(AX)=[*]，必有b₁=b₂=…=b_m=0，即AX=0，故方程组A^TAX=0的解必满足方程组Ax=0，从而有 n-r(A^TA)≤≤n-r(A)， r(A)≤r(A^TA)． ② 由①，②得证r(A)=r(A^TA)．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4cw4777K

考研数学一

相关试题推荐

设f(x)在[0，＋∞)上二阶可导，f(0)＝0，f’’(x)＜0，当0＜a＜x＜b时，有()
设向量＝(1,1，﹣1）T是A＝的一个特征向量判断A是否相似于对角矩阵，说明理由
设线性无关的函数y1，y2，y3都是非齐次线性微分方程y’’＋p(x)y’＋q(x)y＝f(x)的解，C1，C2为任意常数，则该方程的通解为()
设A=，若齐次方程组AX=0的任一非零解均可用a线性表示，则a=()．
设矩阵Am×n，r(A)=m＜n，Em为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是()．
设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=－f(ξ)cotξ．
设半径为R的球体上，任意一点P处的密度为，其中P0为定点，且与球心的距离r0大于R，则该物体的质量为________．
已知a．b为单位向量，且=________．
因为二次型xTAx经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A的特征值，所以6,0，0是A的特征值，又因为∑aij＝∑λi，所以a＋a＋a＝b＋0＋0→a＝2．
已知4阶方阵A＝(α1，α2，α2，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其α2，α3，α4线性无关，α＝2α2－aα3，如果β＝α1＋α2＋α3＋α

随机试题

如图所示水下有一半径为R=0．1m的半球形侧盖，球心至水面距离H=5m，作用于半球盖上水平方向的静水压力是：
硬母线的材质必须有()。
徐州某企业2008年账面会计利润为210000元，税收滞纳金2500元，业务招待费超支8000元，国债利息收入5000元，其2008年应纳税所得额为（）。
中国银行业协会的宗旨是()。
企业编制年度财务报表的时候如果没有需要可以不编制报表附注。()
聘用合同按期限可分为
在：黄炎培看来，“职业教育机关唯一的生命”是()。
设有使用零件表SYLJ(项目号，零件号，数量)，为“数量”字段增加有效性规则：数量＞0，应使用的SQL语句是：【】TABLE使用零件【】数量SET【】数量＞0
Theprimeministertriedtoactbutherplanswere______byhercabinet.
A、OnSeptember1.B、OnJune3.C、Beforethenextschooltear.D、Afterfinalexam.B信息明示题。说话人两次强调学生离开的日期：Youmustvacateyourroo

最新回复(0)

设A是m×n阶实矩阵，证明： r(ATA)=r(A)；

考研数学一

设f(x)在[0，＋∞)上二阶可导，f(0)＝0，f’’(x)＜0，当0＜a＜x＜b时，有()

设向量＝(1,1，﹣1）T是A＝的一个特征向量判断A是否相似于对角矩阵，说明理由

设线性无关的函数y1，y2，y3都是非齐次线性微分方程y’’＋p(x)y’＋q(x)y＝f(x)的解，C1，C2为任意常数，则该方程的通解为()

设A=，若齐次方程组AX=0的任一非零解均可用a线性表示，则a=()．

设矩阵Am×n，r(A)=m＜n，Em为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是()．

设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=－f(ξ)cotξ．

设半径为R的球体上，任意一点P处的密度为，其中P0为定点，且与球心的距离r0大于R，则该物体的质量为________．

已知a．b为单位向量，且=________．

因为二次型xTAx经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A的特征值，所以6,0，0是A的特征值，又因为∑aij＝∑λi，所以a＋a＋a＝b＋0＋0→a＝2．

已知4阶方阵A＝(α1，α2，α2，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其α2，α3，α4线性无关，α＝2α2－aα3，如果β＝α1＋α2＋α3＋α

如图所示水下有一半径为R=0．1m的半球形侧盖，球心至水面距离H=5m，作用于半球盖上水平方向的静水压力是：

硬母线的材质必须有()。

徐州某企业2008年账面会计利润为210000元，税收滞纳金2500元，业务招待费超支8000元，国债利息收入5000元，其2008年应纳税所得额为（）。

中国银行业协会的宗旨是()。

企业编制年度财务报表的时候如果没有需要可以不编制报表附注。()

聘用合同按期限可分为

在：黄炎培看来，“职业教育机关唯一的生命”是()。

设有使用零件表SYLJ(项目号，零件号，数量)，为“数量”字段增加有效性规则：数量＞0，应使用的SQL语句是：【】TABLE使用零件【】数量SET【】数量＞0

Theprimeministertriedtoactbutherplanswere______byhercabinet.

A、OnSeptember1.B、OnJune3.C、Beforethenextschooltear.D、Afterfinalexam.B信息明示题。说话人两次强调学生离开的日期：Youmustvacateyourroo