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设A是m×n阶实矩阵,证明: r(ATA)=r(A);
设A是m×n阶实矩阵,证明: r(ATA)=r(A);
admin
2016-07-22
50
问题
设A是m×n阶实矩阵,证明:
r(A
T
A)=r(A);
选项
答案
设r(A)=r
1
,r(A
T
A)=r
2
,由于AX=0的解都满足(A
T
A)X=A
T
(AX)=0,故AX=0的基础解系(含n-r
1
个无关解)含于A
T
AX=0的某个基础解系(含n-r
2
个无关解)之中,所以n-r
1
≤n-r
2
,故有r
2
≤r
1
,即 r(A
T
A)≤r(A). ① 又当A
T
AX=0时(X为实向量),必有X
T
A
T
AX=0,即(AX)
T
AX=0,设AX=[b
1
,b
2
,…,b
m
]
T
,则(AX)
T
(AX)=[*],必有b
1
=b
2
=…=b
m
=0,即AX=0,故方程组A
T
AX=0的解必满足方程组Ax=0,从而有 n-r(A
T
A)≤≤n-r(A), r(A)≤r(A
T
A). ② 由①,②得证r(A)=r(A
T
A).
解析
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考研数学一
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