2. 考研
  3. 设A是m×n阶实矩阵，证明： r(ATA)=r(A)；

设A是m×n阶实矩阵，证明： r(ATA)=r(A)；

admin2016-07-22  51
问题 设A是m×n阶实矩阵，证明：
r(ATA)=r(A)；
选项
答案设r(A)=r1，r(ATA)=r2，由于AX=0的解都满足(ATA)X=AT(AX)=0，故AX=0的基础解系(含n-r1个无关解)含于ATAX=0的某个基础解系(含n-r2个无关解)之中，所以n-r1≤n-r2，故有r2≤r1，即 r(ATA)≤r(A)． ① 又当ATAX=0时(X为实向量)，必有XTATAX=0，即(AX)TAX=0，设AX=[b1，b2，…，bm]T，则(AX)T(AX)=[*]，必有b1=b2=…=bm=0，即AX=0，故方程组ATAX=0的解必满足方程组Ax=0，从而有 n-r(ATA)≤≤n-r(A)， r(A)≤r(ATA)． ② 由①，②得证r(A)=r(ATA)．
解析
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考研数学一

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