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设A,B,C均是3阶矩阵,满足AB=-2B,CAT=2C 其中 求A;
设A,B,C均是3阶矩阵,满足AB=-2B,CAT=2C 其中 求A;
admin
2018-09-25
48
问题
设A,B,C均是3阶矩阵,满足AB=-2B,CA
T
=2C
其中
求A;
选项
答案
由题设条件:①AB=-2B,将B按列分块,设B=[β
1
,β
2
,β
3
],则有A[β
1
,β
2
,β
3
]=-2[β
1
,β
2
,β
3
],即Aβ
i
=-2β
i
,i=1,2,3,故β
i
(i=1,2,3)是A的对应于λ=-2的特征向量.又因β
1
,β
2
线性无关,β
3
=β
1
+β
2
,故β
1
,β
2
是A的属于λ=-2的线性无关特征向量;②CA
T
=2C,两边转置得AC
T
=2C
T
,将C
T
按列分块,设C
T
=[α
1
,α
2
,α
3
],则有A[α
1
,α
2
,α
3
]=2[α
1
,α
2
,α
3
],Aα
i
=2α
i
,i=1,2,3,故α
i
(i=1,2,3)是A的属于λ=2的特征向量,因α
1
,α
2
,α
3
互成比例,故α
l
是A的属于特征值λ=2的线性无关的特征向量. 取P=[β
1
,β
2
,α
1
],则P可逆,且 [*]
解析
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考研数学一
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