设f(x)在[a,b]三次可微,证明:ξ∈(a,b),使得 f(b)=f(a)+f′(b-a)3(ξ).

admin2016-10-26  38

问题 设f(x)在[a,b]三次可微,证明:ξ∈(a,b),使得
f(b)=f(a)+f′(b-a)3(ξ).

选项

答案将f(x)在x0=[*]展成二阶泰勒公式并分别令x=b与x=a得 [*] 其中ξ1,ξ2∈(a,b).上面两式相减得 f(b)-f(a)=f′[*](ξ2)](b-a)3. 注意:[*](ξ2)]介于[*](ξ2)之间,由导函数取中间值定理,可得[*]ξ∈(a,b),使得[*]因此得证.

解析 从要证的结论来看,可考虑在x1=处展开的泰勒公式.
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