2. 考研
  3. 设f(x)为[一a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=∫—aa｜x一t｜f(t)dt。 证明F’(x)单调增加；

设f(x)为[一a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=∫—aa｜x一t｜f(t)dt。 证明F’(x)单调增加；

admin2018-12-19  59
问题 设f(x)为[一a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=∫—aa｜x一t｜f(t)dt。
证明F’(x)单调增加；
选项
答案由已知 F(x)=∫—aa｜x一t｜f(t)dt=∫—ax(x一t)f(t)dt+∫xa(t一x)f(t)dt =x∫—axf(t)dt一∫—axtf(t)dt+∫axtf(t)dt一x∫xaf(t)dt =x∫—axf(t)dt一∫—axtf(t)dt一∫axtf(t)dt+x∫axf(t)dt， F’(x)=∫—axf(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+∫axf(t)dt+xf(x)=∫—axf(t)dt—∫xaf(t)dt。 所以f’’(x)=2f(x)＞0，因此F’(x)为单调增加的函数。
解析
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考研数学二

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