设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f’’(x)>0,取xi∈[a,b](i=1,2,…,n)及ki>0(i= 1,2,…,n)且满足k1+k2+…+kn=1.证明: f(k1x1+k2x2+…+knxn)≤k1f(x1)+k2x2 +…+knf(xn).

admin2020-03-10  51

问题 设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f’’(x)>0,取xi∈[a,b](i=1,2,…,n)及ki>0(i=
1,2,…,n)且满足k1+k2+…+kn=1.证明:
f(k1x1+k2x2+…+knxn)≤k1f(x1)+k2x2
+…+knf(xn).

选项

答案令x0=k1x1+k2x2+…+knxn,显然x0∈[a,b]. 因为f’’(x)>0,所以f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x-x0), 分别取x=xi(i=1,2,…,n),得 [*] 由ki(i=1,2,…,n),上述各式分别乘以ki(i=1,2,…,n),得 [*] 将上述各式分别相加,得f(x0)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn),即 f(k1x1+k2x2+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn).

解析
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