设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x1+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY,化为标准形f=y12+y22+4y32,求参数a,b及正交矩阵Q.

admin2020-03-10  60

问题 设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x1+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY,化为标准形f=y12+y22+4y32,求参数a,b及正交矩阵Q.

选项

答案二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x1+2bx1x3+2x2x3的矩阵形式为 f=xTAx 其中A=[*],所以A~B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵),于是A的特征值为1,1,4. 而|λE一A|=λ3一(a+4)λ2+(4a—b2+2)λ+(一3a一2b+2b2+2),所以有λ3一(a+4)λ2+(4a—b2+2)λ+(一3a一2b+2b2+2)=(λ一1)2(λ一4), 解得a=2,b=1.当λ12=1时,由(E—A)X=0得ξ1=[*]由λ3=4时,由(4E—A)X=0得ξ3=[*].显然ξ1,ξ2,ξ3两两正交,单位化为 [*]

解析
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