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(1)设φ(x)在区间[0,1]上具有二阶连续的导数,且φ(0)=φ(1)=0.证明 (2)设二元函数f(x,y)在区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}上具有连续的4阶导数,且并设在D的边界上f(x,y)≡0.证明
(1)设φ(x)在区间[0,1]上具有二阶连续的导数,且φ(0)=φ(1)=0.证明 (2)设二元函数f(x,y)在区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}上具有连续的4阶导数,且并设在D的边界上f(x,y)≡0.证明
admin
2020-03-10
69
问题
(1)设φ(x)在区间[0,1]上具有二阶连续的导数,且φ(0)=φ(1)=0.证明
(2)设二元函数f(x,y)在区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}上具有连续的4阶导数,且
并设在D的边界上f(x,y)≡0.证明
选项
答案
(1)由分部积分,有 ∫
0
1
(x-x
2
)φ"(x)dx=∫
0
1
(x-x
2
)dφ’(x) =[(x-x
2
)φ’(x)]|
0
1
一∫
0
1
φ’(x)(1—2x)dx =一∫
0
1
(1—2x)dφ(x)=-[(1—2x)φ(x)]|
0
1
-∫
0
1
2φ(x)dx =φ(x)+φ(0)一2∫
0
1
φ(x)dx=一2∫
0
1
φ(x)dx, 所以[*] 对于里层积分,将y视为常数,对x积分,并注意到 f(0,y)=f(1,y)=0. 所以套用(1)的结果,有 [*] 对此积分的里层积分,将x视为常数,对y积分,并注意到条件 f(x,0)=f(x,1)=0, 再套用(1)的结果,有 [*]
解析
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考研数学三
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