2. 考研
  3. (1)设φ(x)在区间[0，1]上具有二阶连续的导数，且φ(0)=φ(1)=0．证明 (2)设二元函数f(x，y)在区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}上具有连续的4阶导数，且并设在D的边界上f(x，y)≡0．证明

(1)设φ(x)在区间[0，1]上具有二阶连续的导数，且φ(0)=φ(1)=0．证明 (2)设二元函数f(x，y)在区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}上具有连续的4阶导数，且并设在D的边界上f(x，y)≡0．证明

admin2020-03-10  59
问题 (1)设φ(x)在区间[0，1]上具有二阶连续的导数，且φ(0)=φ(1)=0．证明
(2)设二元函数f(x，y)在区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}上具有连续的4阶导数，且并设在D的边界上f(x，y)≡0．证明
选项
答案(1)由分部积分，有 ∫01(x-x2)φ"(x)dx=∫01(x-x2)dφ’(x) =[(x-x2)φ’(x)]|01一∫01φ’(x)(1—2x)dx =一∫01(1—2x)dφ(x)=-[(1—2x)φ(x)]|01-∫012φ(x)dx =φ(x)+φ(0)一2∫01φ(x)dx=一2∫01φ(x)dx， 所以[*] 对于里层积分，将y视为常数，对x积分，并注意到 f(0，y)=f(1，y)=0． 所以套用(1)的结果，有 [*] 对此积分的里层积分，将x视为常数，对y积分，并注意到条件 f(x，0)=f(x，1)=0， 再套用(1)的结果，有 [*]
解析
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考研数学三

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