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  3. (2000年试题，十三)已知向量组β1=与向量组具有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表示，求a，b的值．

(2000年试题，十三)已知向量组β1=与向量组具有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表示，求a，b的值．

admin2021-01-19  39
问题 (2000年试题，十三)已知向量组β1=与向量组具有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表示，求a，b的值．
选项
答案由题设，[*]设矩阵4=(α1，α2，α3)，则[*]利用初等行变换化A为行简化阶梯形得[*]即r(A)=2，因此α1，α2，α3的秩为2且α1，α2线性无关，α3=3α1+2α2，β1β2，β3与α1，α2，α3具有相同的秩，因此β1β2，β3线性相关，则｜β1β2，β3｜=0，即[*]可推出a=3b，又由已知条件β3可由α1，α2，α3线性表示，从而β3可由α1，α2线性表示，因此，向量组｜α1，α2，β3｜线性相关，同理有｜α1，α2，β3｜=0，即[*]可解得b=5，因而a=15
解析 本题还可由以下方法求解，由已知β3可由α1，α2，α3线性表示，等价于方程组有解，通过对其增广矩阵施行行初等变换化为行简化阶梯形得由方程组有解的条件知，即b=5，从而由原解法同样可算出a的值．
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考研数学二

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