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(2000年试题,十三)已知向量组β1=与向量组具有相同的秩,且β3可由α1,α2,α3线性表示,求a,b的值.
(2000年试题,十三)已知向量组β1=与向量组具有相同的秩,且β3可由α1,α2,α3线性表示,求a,b的值.
admin
2021-01-19
32
问题
(2000年试题,十三)已知向量组β
1
=
与向量组
具有相同的秩,且β
3
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,求a,b的值.
选项
答案
由题设,[*]设矩阵4=(α
1
,α
2
,α
3
),则[*]利用初等行变换化A为行简化阶梯形得[*]即r(A)=2,因此α
1
,α
2
,α
3
的秩为2且α
1
,α
2
线性无关,α
3
=3α
1
+2α
2
,β
1
β
2
,β
3
与α
1
,α
2
,α
3
具有相同的秩,因此β
1
β
2
,β
3
线性相关,则|β
1
β
2
,β
3
|=0,即[*]可推出a=3b,又由已知条件β
3
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,从而β
3
可由α
1
,α
2
线性表示,因此,向量组|α
1
,α
2
,β
3
|线性相关,同理有|α
1
,α
2
,β
3
|=0,即[*]可解得b=5,因而a=15
解析
本题还可由以下方法求解,由已知β
3
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,等价于方程组
有解,通过对其增广矩阵施行行初等变换化为行简化阶梯形得
由方程组有解的条件知
,即b=5,从而由原解法同样可算出a的值.
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考研数学二
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