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(2000年试题，十三)已知向量组β1=与向量组具有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表示，求a，b的值．
(2000年试题，十三)已知向量组β1=与向量组具有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表示，求a，b的值．
admin
2021-01-19
37
问题
(2000年试题，十三)已知向量组β
1
=
与向量组
具有相同的秩，且β
3
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，求a，b的值．
选项
答案
由题设，[*]设矩阵4=(α
1
，α
2
，α
3
)，则[*]利用初等行变换化A为行简化阶梯形得[*]即r(A)=2，因此α
1
，α
2
，α
3
的秩为2且α
1
，α
2
线性无关，α
3
=3α
1
+2α
2
，β
1
β
2
，β
3
与α
1
，α
2
，α
3
具有相同的秩，因此β
1
β
2
，β
3
线性相关，则｜β
1
β
2
，β
3
｜=0，即[*]可推出a=3b，又由已知条件β
3
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，从而β
3
可由α
1
，α
2
线性表示，因此，向量组｜α
1
，α
2
，β
3
｜线性相关，同理有｜α
1
，α
2
，β
3
｜=0，即[*]可解得b=5，因而a=15
解析
本题还可由以下方法求解，由已知β
3
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，等价于方程组
有解，通过对其增广矩阵施行行初等变换化为行简化阶梯形得
由方程组有解的条件知
，即b=5，从而由原解法同样可算出a的值．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4v84777K
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