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设f(x)在(a,b)定义,x0∈(a,b),则下列命题中正确的是
设f(x)在(a,b)定义,x0∈(a,b),则下列命题中正确的是
admin
2019-05-12
50
问题
设f(x)在(a,b)定义,x
0
∈(a,b),则下列命题中正确的是
选项
A、若f(x)在(a,b)单调增加且可导,则f’(x)>0(x∈(a,b)).
B、若(x
0
,f(x
0
))是曲线y=f(x)的拐点,则f’’(x
0
)=0.
C、若f’(x
0
)=0,f’’(x
0
)=0,f’’’(x
0
)≠0,则x
0
一定不是f(x)的极值点.
D、若f(x)在x=x
0
处取极值,则f’(x
0
)=0.
答案
C
解析
【分析一】 (A),(B),(D)涉及到一些基本事实.
若f(x)在(a,b)可导且单调增加
f’(x)≥0(x∈(a,b)).
若(x
0
,f(x
0
))是曲线y=f(x)的拐点,则f’’(x
0
)可能不存在.
若x=x
0
是f(x)的极值点,则f’(x
0
)可能不存在.
因此(A),(B),(D)均不正确(如图4.1所示).选(C).
【分析二】 考察(C).f’’’(x
0
)≠0,不妨设f’’’(x
0
)>0,则
f’(x)在(x
0
一δ,x
0
]单调下降,在[x
0
,x
0
+δ)单调上升
f’(x)>f’(x
0
)=0(x∈(x
0
—δ,x
0
+δ),x≠x
0
).
f(x)在(x
0
一δ,x
0
+δ)单调上升,x
0
不是f(x)的极值点.选(C).
【分析三】 考察(C).不妨设f’’’(x
0
)>0.由题设,f(x)在x=x
0
有如下三阶泰勒公式:
f(x)一f(x
0
)=f’(x
0
)(x—x
0
)+
f’’(x
0
)(x—x
0
)
2
+
f’’’(x
0
)(x一x
0
)
3
+o((x一x
0
)
3
)
=(x一x
0
)
3
。[
f’’’(x
0
)+o(1)](x→x
0
),
其中o(1)为无穷小量(x→x
0
时)
δ>0,[f(x)一f(x
0
)]
因此x=x
0
不是f(x)的极值点.
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考研数学一
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