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  3. 设f(x)在(a，b)定义，x0∈(a，b)，则下列命题中正确的是

设f(x)在(a，b)定义，x0∈(a，b)，则下列命题中正确的是

admin2019-05-12  50
问题 设f(x)在(a，b)定义，x0∈(a，b)，则下列命题中正确的是
选项 A、若f(x)在(a，b)单调增加且可导，则f’(x)＞0(x∈(a，b))．
B、若(x0，f(x0))是曲线y＝f(x)的拐点，则f’’(x0)＝0．
C、若f’(x0)＝0，f’’(x0)＝0，f’’’(x0)≠0，则x0一定不是f(x)的极值点．
D、若f(x)在x＝x0处取极值，则f’(x0)＝0．
答案C
解析 【分析一】 (A)，(B)，(D)涉及到一些基本事实．
若f(x)在(a，b)可导且单调增加f’(x)≥0(x∈(a，b))．
若(x0，f(x0))是曲线y＝f(x)的拐点，则f’’(x0)可能不存在．
若x＝x0是f(x)的极值点，则f’(x0)可能不存在．
因此(A)，(B)，(D)均不正确(如图4．1所示)．选(C)．

【分析二】 考察(C)．f’’’(x0)≠0，不妨设f’’’(x0)＞0，则

f’(x)在(x0一δ，x0]单调下降，在[x0，x0＋δ)单调上升
f’(x)＞f’(x0)＝0(x∈(x0—δ，x0＋δ)，x≠x0)．
f(x)在(x0一δ，x0＋δ)单调上升，x0不是f(x)的极值点．选(C)．
【分析三】 考察(C)．不妨设f’’’(x0)＞0．由题设，f(x)在x＝x0有如下三阶泰勒公式：
f(x)一f(x0)＝f’(x0)(x—x0)＋f’’(x0)(x—x0)2＋f’’’(x0)(x一x0)3＋o((x一x0)3)
＝(x一x0)3。[f’’’(x0)＋o(1)](x→x0)，
其中o(1)为无穷小量(x→x0时)δ＞0，[f(x)一f(x0)]
因此x＝x0不是f(x)的极值点．
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