(Ⅰ)确定常数a,b,c的值,使得函数f(χ)=χ+aχ5+(b+cχ2)tanχ=o(χ5),其中o(χ5)是当χ→0时比χ5高阶的无穷小量; (Ⅱ)确定常数a与b的值,使得函数f(χ)=χ-(a+bcosχ)sinχ当χ→0时成为尽可能高阶的无

admin2018-06-12  30

问题 (Ⅰ)确定常数a,b,c的值,使得函数f(χ)=χ+aχ5+(b+cχ2)tanχ=o(χ5),其中o(χ5)是当χ→0时比χ5高阶的无穷小量;
    (Ⅱ)确定常数a与b的值,使得函数f(χ)=χ-(a+bcosχ)sinχ当χ→0时成为尽可能高阶的无穷小量.

选项

答案(Ⅰ)用求极限的方法确定常数a,b,c的值.注意f(χ)=o(χ5)即[*]=0,由此可得[*]=0.这样就有 [*] 故常数a,b,c的值分别是a=-[*],b=-1,c=[*]. (Ⅱ)先作恒等变形:f(χ)=χ-asinχ-[*]bsin2χ再利用泰勒展开式 由sinχ=χ-[*]+o(χ6), sin2χ=2χ-[*]+o(χ6)=2χ-[*]+o(χ6) 可得f(χ)=(1-a-b)χ+[*]+o(χ5). 欲使f(χ)当χ→0时是尽可能高阶的无穷小量,应设上式中χ与χ3的系数为零,即1-a-b=0,[*]=0.解之得a=[*],b=-[*],这时 f(χ)=[*]+o(χ)5 即f(χ)为χ→0时关于χ的五阶无穷小量. 故当a=[*],b=[*]时f(χ)是χ→0时最高阶的无穷小量.

解析
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