设f(x)在(一∞,+∞)上可导,且其反函数存在为g(x).若则当一∞<x<+∞时f(x)=_________.

admin2019-02-23  46

问题 设f(x)在(一∞,+∞)上可导,且其反函数存在为g(x).若则当一∞<x<+∞时f(x)=_________.

选项

答案[*]

解析 未知函数含于积分之中的方程称积分方程.现在此积分的上限为变量,求此方程的解的方法是将方程两边对x求导数化成微分方程解之.注意,积分方程的初值条件蕴含于所给式子之中,读者应自行设法挖掘之.将所给方程两边对x求导,有g(f(x))f’(x)+f(x)=xex.因g(f(x))≡x,所以上式成为xf’(x)+f(x)=xe.以x=0代入上式,由于f’(0)存在,所以由上式得f(0)=0.当x≠0时,上式成为解得由于f(x)在x=0处可导,所以连续.令x→0,得所以从而知C=1.于是得
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