已知三角形的周长为2p,将它绕其一边旋转而构成一立体,求使立体体积最大的那个三角形.

admin2018-06-15  24

问题 已知三角形的周长为2p,将它绕其一边旋转而构成一立体,求使立体体积最大的那个三角形.

选项

答案设三角形的三边长为a,b,c,并设以AC边为旋转轴(见图8.1),AC上的高为h,则旋转所成立体的体积为 [*] V=1/3πh2b. 又设三角形的面积为S,于是有 [*] 所以V=4πp/3b(p-a)(p-b)(p-c). 问题化成求V(a,b,c)在条件a+b+c-2p=0下的最大值点,等价于求V0(a,b,c)=ln1/b(p-a)(p-b)(p-c)=ln(p-a)+ln(p-b)+ln(p-c)-lnb在条件a+b+c-2p=0下的最大值点. 用拉格朗日乘子法.令F(a,b,c,λ)=V0(a,b,c)+λ(a+b+c-2p),求解方程组 [*] 比较①,③得a=c,再由④得b=2(p-a). ⑤ 比较①,②得b(p-b)=(p-a)p. ⑥ 由⑤,⑥解出b=p/2,a=3/4p,又c=a=3/4p. 由实际问题知,最大体积一定存在,而以上解又是方程组的唯一解.因而也是条件最大值点.所以当三角形的边长分别为p/2,3/4p,3/4p时,绕边长为号的边旋转时,所得立体体积最大.

解析
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