2. 考研
  3. 证明：当x≥0时，f(x)=∫0x(t-t2)sin2ntdt的最大值不超过1/[(2n+2)(2n+3)].

证明：当x≥0时，f(x)=∫0x(t-t2)sin2ntdt的最大值不超过1/[(2n+2)(2n+3)].

admin2022-08-19  25
问题 证明：当x≥0时，f(x)=∫0x(t-t2)sin2ntdt的最大值不超过1/[(2n+2)(2n+3)].
选项
答案当x＞0时，令f′(x)=(x-x2)sin2nx=0得x=1，x=kπ(k=1，2，…)，当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)≤0(除x=kπ(k=1，2，…)外f′(x)＜0)，于是x=1为f(x)的最大值点，f(x)的最大值为f(1).因为当x≥0时，sinx≤x，所以当x∈[0，1]时，(x-x2)sin2nx≤(x-x2)x2n=x2n+1-x2n+2， 于是f(x)≤f(1)=∫01(x-x2)sin2nxdx ≤∫01(x2n+1-x2n+2)dx=1/(2n+2)-1/(2n+3)=1/[(2n+2)(2n+3)].
解析
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考研数学三

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