设f(x)= (I)求f’(x); (Ⅱ)证明:x=0是f(x)的极大值点; (Ⅲ)令xn=,考察f’(xn)是正的还是负的,n为非零整数; (Ⅳ)证明:对δ>0,f(x)在(-δ,0]上不单调上升,在[0,δ]上不单调下降.

admin2017-08-18  35

问题 设f(x)=
(I)求f’(x); (Ⅱ)证明:x=0是f(x)的极大值点;
(Ⅲ)令xn,考察f’(xn)是正的还是负的,n为非零整数;
(Ⅳ)证明:对δ>0,f(x)在(-δ,0]上不单调上升,在[0,δ]上不单调下降.

选项

答案(I)当x≠0时按求导法则得 [*] 当x=0时按导数定义得 [*] (II)由于f(x)一f(0)=一x2(2+sin[*])<0(x≠0),即f(x)<f(0),于是由极值的定义可知x=0是f(x)的极大值点. (III)令xN=[*](N=±1,±2,±3,…),则sin[*]=0,cos[*]=(一1)n,于是 [*] (Ⅳ)对[*]δ>0,当n为[*]负奇数且|n|充分大时xn∈(一δ,0),f’(xn)<0[*]f(x)在(一δ,0)不单调上升;当n为正偶数且n充分大时xn∈(0,δ),f’(xn)>0[*]f(x)在(0,δ)不单调下降.

解析
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