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设f(x)=xe2x一2x—cosx,讨论它在区间(一∞,+∞)内零点的个数.
设f(x)=xe2x一2x—cosx,讨论它在区间(一∞,+∞)内零点的个数.
admin
2014-04-23
41
问题
设f(x)=xe
2x
一2x—cosx,讨论它在区间(一∞,+∞)内零点的个数.
选项
答案
f(一1)=一e
-2
+2一cos1>0,f(0)=一1<0,f(1)=e
2
一2一cos1>0,所以在区间(一1,0)与区间(0.1)内分别至少有1个零点.f(x)=e
2x
+2xe
2x
一2+sinx=2xe
2x
+(e
2x
一1)+(sinx—1).所以当x<0时,f
’
(x)<0.所以在区间(一∞,一1]内f(x)无零点,在区间(一1,0)内有1个零点.f
’’
(x)=4e
2x
+4xe
2x
+cosx=4(1+x)e
2x
+cosx=(4e
2x
+cosx)+4xe
2x
.可见无论x∈(一1,0)还是x∈[0,+∞),f
’’
(x)>0.所以在区间(一1,+∞)内f(x)至多有。9个零点,而前已证明f(x)在区间(一1,1)内至少有2个零点,所以,f(x)仅有2个零点.分别在区间(一1,0)与(0,1)内.
解析
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考研数学一
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