设f(x)=xe2x一2x—cosx,讨论它在区间(一∞,+∞)内零点的个数.

admin2014-04-23  25

问题 设f(x)=xe2x一2x—cosx,讨论它在区间(一∞,+∞)内零点的个数.

选项

答案f(一1)=一e-2+2一cos1>0,f(0)=一1<0,f(1)=e2一2一cos1>0,所以在区间(一1,0)与区间(0.1)内分别至少有1个零点.f(x)=e2x+2xe2x一2+sinx=2xe2x+(e2x一1)+(sinx—1).所以当x<0时,f(x)<0.所以在区间(一∞,一1]内f(x)无零点,在区间(一1,0)内有1个零点.f’’(x)=4e2x+4xe2x+cosx=4(1+x)e2x+cosx=(4e2x+cosx)+4xe2x.可见无论x∈(一1,0)还是x∈[0,+∞),f’’(x)>0.所以在区间(一1,+∞)内f(x)至多有。9个零点,而前已证明f(x)在区间(一1,1)内至少有2个零点,所以,f(x)仅有2个零点.分别在区间(一1,0)与(0,1)内.

解析
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