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(2002年试题,二)设向量组α1,α2,α3线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,而向量β2不能由α1,α2,α3线性表示,则对于任意常数尼,必有( ).
(2002年试题,二)设向量组α1,α2,α3线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,而向量β2不能由α1,α2,α3线性表示,则对于任意常数尼,必有( ).
admin
2014-06-15
66
问题
(2002年试题,二)设向量组α
1
,α
2
,α
3
线性无关,向量β
1
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,而向量β
2
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,则对于任意常数尼,必有( ).
选项
A、α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性无关
B、α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性相关
C、α
1
,α
2
,α
3
,β
1
+kβ
2
线性无关
D、α
1
,α
2
,α
3
,β
1
+kβ
2
线性相关
答案
A
解析
由题设,β
1
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,则α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,线性相关,在C中取k=0,则可看出C不正确;又由β
3
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示且α
1
,α
2
,α
3
线性无关知,α
1
,α
2
,α
3
,β
2
线性无关,在B中取k=0,可看出B不正确;关于A,矩阵(α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
)可α
1
,α
2
,α
3
通过初等列变换化为(α
1
,α
2
,α
3
,β
2
),则该矩阵秩为4,所以α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性无关,所以A正确;关于D,同样可将矩阵(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
+kβ
2
)化为(α
1
,α
2
,α
3
,kβ
2
),当k=0时,矩阵的秩为3,则α
1
,α
2
,α
3
,β
1
+kβ
2
线性相关,当k≠0时矩阵秩为4,此时α
1
,α
2
,α
3
,β
1
+kβ
2
:线性无关,所以D不正确,综上,选A.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/5D34777K
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考研数学二
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