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(2002年试题，二)设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数尼，必有( )．
(2002年试题，二)设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数尼，必有( )．
admin
2014-06-15
94
问题
(2002年试题，二)设向量组α
1
，α
2
，α
3
线性无关，向量β
1
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，而向量β
2
不能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，则对于任意常数尼，必有( )．
选项
A、α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
线性无关
B、α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
线性相关
C、α
1
，α
2
，α
3
，β
1
+kβ
2
线性无关
D、α
1
，α
2
，α
3
，β
1
+kβ
2
线性相关
答案
A
解析
由题设，β
1
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，则α
1
，α
2
，α
3
，β
1
，线性相关，在C中取k=0，则可看出C不正确；又由β
3
不能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示且α
1
，α
2
，α
3
线性无关知，α
1
，α
2
，α
3
，β
2
线性无关，在B中取k=0，可看出B不正确；关于A，矩阵(α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
)可α
1
，α
2
，α
3
通过初等列变换化为(α
1
，α
2
，α
3
，β
2
)，则该矩阵秩为4，所以α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
线性无关，所以A正确；关于D，同样可将矩阵(α
1
，α
2
，α
3
，β
1
+kβ
2
)化为(α
1
，α
2
，α
3
，kβ
2
)，当k=0时，矩阵的秩为3，则α
1
，α
2
，α
3
，β
1
+kβ
2
线性相关，当k≠0时矩阵秩为4，此时α
1
，α
2
，α
3
，β
1
+kβ
2
：线性无关，所以D不正确，综上，选A．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/5D34777K
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考研数学二
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