设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，｜f(x)dx＝0．证明：存在ξi∈(a，b)(i＝1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f’(ξ)＋f(ξi)＝0(i＝1，2)；

admin2019-11-25 69

问题设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，｜f(x)dx＝0．证明：
存在ξ_i∈(a，b)(i＝1，2)，且ξ₁≠ξ₂，使得f’(ξ)＋f(ξ_i)＝0(i＝1，2)；

选项

答案令h(x)＝e^xf(x)，因为h(a)＝h(c)＝h(b)＝0，所以由罗尔定理，存在ξ₁∈(a，c)，ξ₂∈(c，b)，使得h’(ξ₁)＝h’(ξ₂)＝0，而h’(x)＝e^x[f’(x)＋f(x)]且e^x≠0，所以f’(ξ_i)＋f(ξ_i)＝0(i＝1，2)．

解析

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考研数学三

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