设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,|f(x)dx=0.证明: 存在ξi∈(a,b)(i=1,2),且ξ1≠ξ2,使得f’(ξ)+f(ξi)=0(i=1,2);

admin2019-11-25  52

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,|f(x)dx=0.证明:
存在ξi∈(a,b)(i=1,2),且ξ1≠ξ2,使得f’(ξ)+f(ξi)=0(i=1,2);

选项

答案令h(x)=exf(x),因为h(a)=h(c)=h(b)=0,所以由罗尔定理,存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0,而h’(x)=ex[f’(x)+f(x)]且ex≠0,所以f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1,2).

解析
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