设向量α1,α2，…，αn-1是n—1个线性无关的n维列向量，ξ1，ξ2是与α1,α2，…，αn-1均正交的n维非零列向量。证明： ξ1，ξ2线性相关；

admin2019-07-22 50

问题设向量α₁,α₂，…，α_n-1是n—1个线性无关的n维列向量，ξ₁，ξ₂是与α₁,α₂，…，α_n-1均正交的n维非零列向量。证明：
ξ₁，ξ₂线性相关；

选项

答案令A=(α₁，α₂，…，α_n-1)^T，则A是(n一1)×n矩阵，且r(A)=n一1。由已知条件可知 α_iξ_j^T=0(i=1，2，…，n一1；j=1，2)，即Aξ_j=0(j=1，2)，这说明ξ₁，ξ₂是齐次线性方程组Ax=0的两个解向量。但Ax=0的基础解系中所含向量的个数为 n—r(A)=n一(n一1)=1，所以解向量ξ₁，ξ₂必定线性相关。

解析

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