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已知α1,α2,α3,α4是3维非零向量,则下列命题中错误的是( )
已知α1,α2,α3,α4是3维非零向量,则下列命题中错误的是( )
admin
2019-03-23
80
问题
已知α
1
,α
2
,α
3
,α
4
是3维非零向量,则下列命题中错误的是( )
选项
A、如果α
4
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表出,则α
1
,α
2
,α
3
线性相关。
B、如果α
1
,α
2
,α
3
线性相关,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,那么α
1
,α
2
,α
4
也线性相关。
C、如果α
3
不能由α
1
,α
2
线性表出,α
4
不能由α
2
,α
3
线性表出,则α
1
可以由α
2
,α
3
,α
4
线性表出。
D、如果秩R(α
1
,α
1
+α
2
,α
2
+α
3
)=R(α
4
,α
1
+α
4
,α
2
+α
4
,α
3
+α
4
),则α
4
可以由α
1
,α
2
,α
3
线性表出。
答案
B
解析
设α
1
=(1,0,0)
T
,α
2
=(0,1,0)
T
,α
3
=(0,2,0)
T
,α
4
=(0,0,1)
T
,可知B项不正确,故选B。
关于选项A:用其逆否命题判断。若α
1
,α
2
,α
3
线性无关,则α
1
,α
2
,α
3
,α
4
必线性相关(因为n+1个n维向量必线性相关),所以α
4
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表出。
关于选项C:由已知条件,有
(Ⅰ)R(α
1
,α
2
)≠R(α
1
,α
2
,α
3
),(Ⅱ)R(α
2
,α
3
)≠R(α
2
,α
3
,α
4
)。
若R(α
2
,α
3
)=1,则必有R(α
1
,α
2
)=R(α
1
,α
2
,α
3
),与条件(Ⅰ)矛盾,故必有R(α
2
,α
3
)=2。那么由(Ⅱ)知R(α
2
,α
3
,α
4
)=3,从而R(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=3。因此α
1
可以由α
2
,α
3
,α
4
线性表出。
关于选项D:经初等变换有
(α
1
,α
1
+α
2
,α
2
+α
3
)→(α
1
,α
2
,α
2
+α
3
)→(α
1
,α
2
,α
3
),
(α
4
,α
1
+α
4
,α
2
+α
4
,α
3
+α
4
)→(α
4
,α
1
,α
2
,α
3
)→(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),
从而R(α
1
,α
2
,α
3
)=R(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),因此α
4
可以由α
1
,α
2
,α
3
线性表出。
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考研数学二
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