设A是m×n矩阵,齐次线性方程组AX=0,r(A)=n—5,α1,α2,α3,α4,α5是该方程组5个线性无关的解向量,则方程组AX=0的一个基础解系是( ).

admin2021-05-21  63

问题 设A是m×n矩阵,齐次线性方程组AX=0,r(A)=n—5,α1,α2,α3,α4,α5是该方程组5个线性无关的解向量,则方程组AX=0的一个基础解系是(    ).

选项 A、α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α5,α5+α1
B、α1-α2,α2+α3,α3+α4,α4+α5,α5+α1
C、α1-α2,α2-α3,α3-α4,α4+α5,α5+α1
D、α1-α2,α2-α3,α3-α4,α4-α5,α5-α1

答案A

解析 上述各选择项中的向量均为AX=0的解向量,这是显然的.关键要确定哪一组向量线性无关.可利用下述结论观察求出:
已知向量组α1,α2,…,αs(s≥2)线性无关.设
    β1=α1±α2,β2=α2±α3,…,βs-1=αs-1±αs,βs=αs±α1
其中s为向量组中的向量个数.又设上式中带负号的向量个数为k,则
(1)当s与k的奇偶性相同时,向量组β1,β2,…,βr线性相关;
(2)当x与k的奇偶性相反时,向量组β1,β2,…,βr线性无关.
解一  本题中s=5(奇数),只有(A)中向量组带负号的个数k=0(偶数),由上述结论即知(A)中向量组线性无关,因而它们为AX=0的一个基础解系.仅(A)入选.而(B)、(C)、(D)中向量组带负号的个数分别为k=1,k=3,k=5,均为奇数,与s的奇偶性相同,故它们均分别线性相关.
解二  由线性相关的定义易知,选项(D)中向量组线性相关.因
    (α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α4)+(α4-α5)+(α5-α1)=0,
至于(B)、(C)中的向量组也可用矩阵表示法证明线性相关.例如对于(B),有
1-α2,α2+α3,α3+α4,α4+α5,α5+α1]=[α1,α2,α3,α4,α5]=1.1.1+(一1).1.1+0—0—0—0=0.    而

=1.1.1+(-1).1.1+0-0-0-0=0,
故选项(B)中向量组线性相关.
同理,可证选项(C)中向量组也线性相关.
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