2. 考研
  3. 设A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX＝0，r(A)＝n—5，α1，α2，α3，α4，α5是该方程组5个线性无关的解向量，则方程组AX＝0的一个基础解系是( )．

设A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX＝0，r(A)＝n—5，α1，α2，α3，α4，α5是该方程组5个线性无关的解向量，则方程组AX＝0的一个基础解系是( )．

admin2021-05-21  48
问题 设A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX＝0，r(A)＝n—5，α1，α2，α3，α4，α5是该方程组5个线性无关的解向量，则方程组AX＝0的一个基础解系是(    )．
选项 A、α1＋α2，α2＋α3，α3＋α4，α4＋α5，α5＋α1
B、α1－α2，α2＋α3，α3＋α4，α4＋α5，α5＋α1
C、α1－α2，α2－α3，α3－α4，α4＋α5，α5＋α1
D、α1－α2，α2－α3，α3－α4，α4－α5，α5－α1
答案A
解析 上述各选择项中的向量均为AX＝0的解向量，这是显然的．关键要确定哪一组向量线性无关．可利用下述结论观察求出：
已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关．设
    β1＝α1±α2，β2＝α2±α3，…，βs－1＝αs－1±αs，βs＝αs±α1
其中s为向量组中的向量个数．又设上式中带负号的向量个数为k，则
(1)当s与k的奇偶性相同时，向量组β1，β2，…，βr线性相关；
(2)当x与k的奇偶性相反时，向量组β1，β2，…，βr线性无关．
解一  本题中s＝5(奇数)，只有(A)中向量组带负号的个数k＝0(偶数)，由上述结论即知(A)中向量组线性无关，因而它们为AX＝0的一个基础解系．仅(A)入选．而(B)、(C)、(D)中向量组带负号的个数分别为k＝1，k＝3，k＝5，均为奇数，与s的奇偶性相同，故它们均分别线性相关．
解二  由线性相关的定义易知，选项(D)中向量组线性相关．因
    (α1－α2)＋(α2－α3)＋(α3－α4)＋(α4－α5)＋(α5－α1)＝0，
至于(B)、(C)中的向量组也可用矩阵表示法证明线性相关．例如对于(B)，有
[α1－α2，α2＋α3，α3＋α4，α4＋α5，α5＋α1]＝[α1，α2，α3，α4，α5]＝1.1.1+(一1).1.1+0—0—0—0＝0．    而

＝1.1.1＋(－1).1.1＋0－0－0－0＝0，
故选项(B)中向量组线性相关．
同理，可证选项(C)中向量组也线性相关．
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