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设二阶常系数非齐次线性微分方程y"+y’+qy=Q(x)有特解y=3e-4x+x2+3x+2,则Q(x)=________,该微分方程的通解为________.
设二阶常系数非齐次线性微分方程y"+y’+qy=Q(x)有特解y=3e-4x+x2+3x+2,则Q(x)=________,该微分方程的通解为________.
admin
2021-10-18
77
问题
设二阶常系数非齐次线性微分方程y"+y’+qy=Q(x)有特解y=3e
-4x
+x
2
+3x+2,则Q(x)=________,该微分方程的通解为________.
选项
答案
2+2x+3-12(x
2
+3x+2)=-12x
2
-34x-19、y=C
1
e
-4x
+C
2
e
3x
+x
2
+3x+2(其中C
1
,C
2
为任意常数)
解析
显然λ=-4是特征方程λ
2
+λ+q=0的解,故q=-12,即特征方程为λ
2
+λ-12=0,特征值为λ
1
=-4,λ
2
=3.因为x
2
+3x+2为特征方程y"+y’-12y=Q(x)的一个特解,所以Q(x)=2+2x+3-12(x
2
+3x+2)=-12x
2
-34x-19,且通解为y=C
1
e
-4x
+C
2
e
3x
+x
2
+3x+2(其中C
1
,C
2
为任意常数).
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