设二阶常系数非齐次线性微分方程y"+y’+qy=Q(x)有特解y=3e-4x+x2+3x+2，则Q(x)=，该微分方程的通解为．

admin2021-10-18 30

问题设二阶常系数非齐次线性微分方程y"+y’+qy=Q(x)有特解y=3e^-4x+x²+3x+2，则Q(x)=________，该微分方程的通解为________．

选项

答案2+2x+3-12(x²+3x+2)=-12x²-34x-19、y=C₁e^-4x+C₂e^3x+x²+3x+2(其中C₁，C₂为任意常数)

解析显然λ=-4是特征方程λ²+λ+q=0的解，故q=-12，即特征方程为λ²+λ-12=0，特征值为λ₁=-4，λ₂=3．因为x²+3x+2为特征方程y"+y’-12y=Q(x)的一个特解，所以Q(x)=2+2x+3-12(x²+3x+2)=-12x²-34x-19，且通解为y=C₁e^-4x+C₂e^3x+x²+3x+2(其中C₁，C₂为任意常数)．

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