2. 考研
  3. 设连续函数f(x)>0且单调递增，则积分I1＝∫0π/2f(x)sinxdx，I2＝∫0π/2f(x)cosxdx，I3＝∫0π/2d(x)tanxdx的大小关系为( )

设连续函数f(x)>0且单调递增，则积分I1＝∫0π/2f(x)sinxdx，I2＝∫0π/2f(x)cosxdx，I3＝∫0π/2d(x)tanxdx的大小关系为( )

admin2019-12-06  98
问题 设连续函数f(x)>0且单调递增，则积分I1＝∫0π/2f(x)sinxdx，I2＝∫0π/2f(x)cosxdx，I3＝∫0π/2d(x)tanxdx的大小关系为(     )
选项 A、I1﹥I2﹥I3
B、I1﹥I3﹥I2
C、I2﹥I3﹥I1
D、I3﹥I1﹥I2
答案D
解析 由于积分区间相同，比较被积函数的大小，
I1－I2＝∫0π/2f(x)(sinx－cosx)dx
＝∫0π/4f(x)(sinx－cosx)dx＋∫π/4π/2f(x)(sinx－cosx)dx，
令x＝－t则
∫π/4π/2f(x)(sinx－cosx)dx＝∫0π/4f(－t)[sin(－t)－cos(－t)]dt
    ＝∫0π/4f (－t)(cosx－sinx)dx，
则有I1－I2＝∫0π/4[f(x) －f(－x)] (sinx－cosx)dx，
已知函数d(x)﹥0且单调递增，则f(x)－﹤0，而当0﹤x﹤时，sinx﹤cosx,可以得到
被积函数，
从而I1﹥I2。
I3－I1＝∫0π/2f(x)(tanx－sinx)dx，
当x﹥0时，有tanx－sinx﹥0，又因为f(x)﹥0，所以f(x)(tanx－sinx)﹥0，即I3－I1﹥0，综上可得I3﹥I1﹥I2。
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考研数学二

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