2. 考研
  3. 设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕x轴一周所得旋转曲面为S． (1)求旋转曲面的方程； (2)求曲面S介于平面z＝0与z＝1之间的体积．

设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕x轴一周所得旋转曲面为S． (1)求旋转曲面的方程； (2)求曲面S介于平面z＝0与z＝1之间的体积．

admin2018-01-23  69
问题 设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕x轴一周所得旋转曲面为S．
(1)求旋转曲面的方程；
(2)求曲面S介于平面z＝0与z＝1之间的体积．
选项
答案(1)[*]＝{－1，1，1}，直线AB的方程为[*]． 设对任意的M(x，y，z)∈S，过M垂直于z轴的截口为圆，其与直线AB及z轴的交点为 M0(x0，y0，z)，T(0，0，z)，由｜MT｜＝｜M0T｜，得x2＋y2＝x02＋y02， 因为M0在直线AB上，所以有[*]， 从而[*]代入x2＋y2＝x02＋y02；中得曲面方程为 S：x2＋y2＝(1－z)2＋z2，即S：x2＋y2＝2z2－2z＋1． (2)对任意的z∈[0，1]，垂直于z轴的截口圆面积为 A(z)＝π(x2＋y2)＝π(x2＋y2)＝π(2z2－2z＋1) 于是V＝∫01A(z)dz＝[*]．
解析
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考研数学三

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