证明α1，α2，…，αs(其中α1≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个αi(1＜i≤s)能由它前面的那些向量α1，α2，…，αi-1线性表出．

admin2016-10-21 65

问题证明α₁，α₂，…，α_s(其中α₁≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个α_i(1＜i≤s)能由它前面的那些向量α₁，α₂，…，α_i-1线性表出．

选项

答案必要性．因为α₁，α₂，…，α_s线性相关，故有：不全为0的k₁，k₂，…，k_s，使 k₁a₂＋k₂a₂＋…＋k_sa_s＝0．设k_s，k_s-1，…，k₂，k₁中第一个不为0的是k_i(即k_i≠0，而k_i+1＝…＝k_s-1＝k_s＝0)，且必有i＞1(若i＝1即k₁≠0，k₂＝…＝k_s＝0，那么k₁α₁＝0．于是α₁＝0与α₁≠0矛盾．)，从而k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_ia_i＝0，k_i≠0．那么α_i＝－[*](k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_i-1α_i-)．充分性．设有α_i可用α₁，α₂，…，α_i-1线性表示，则α₁，α₂，…，α_i-1，α_i线性相关，从而α₁，α₂，…，α_s线性相关．

解析

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考研数学二

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证明α1，α2，…，αs(其中α1≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个αi(1＜i≤s)能由它前面的那些向量α1，α2，…，αi-1线性表出．

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