对于一切实数t,函数f(t)连续的正函数且可导，同时有f(－t)=f(t),又函数 g(x)=∫-aa|x－t|f(t)dt,a＞0,x∈[－a,a] 证明g’(x)是单调增加的。

admin2022-10-08 102

问题对于一切实数t,函数f(t)连续的正函数且可导，同时有f(－t)=f(t),又函数
g(x)=∫_-a^a|x－t|f(t)dt,a＞0,x∈[－a,a]

证明g’(x)是单调增加的。

选项

答案g(x)=∫_-a^a|x－t|f(t)dt=∫_-a^x(x－t)f(t)dt+∫_x^a(t－x)f(t)dt =x∫_-a^xf(t)dt－∫_-a^xtf(t)dt+∫_x^atf(t)dt－x∫_x^af(t)dt 因f(t)连续，故上式右边可导，于是 g’(x)=∫_-a^xf(t)dt+xf(x)－xf(x)－xf(x)－∫_x^af(t)dt+xf(x) =∫_-a^xf(t)dt+∫_a^xf(t)dt g"(x)=2f(x) ① 又因f(x)＞0,知g"(x)＞0,由此可以得出g’(x)为单调增函数。

解析

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