对于一切实数t,函数f(t)连续的正函数且可导，同时有f(－t)=f(t),又函数 g(x)=∫-aa|x－t|f(t)dt,a＞0,x∈[－a,a] 证明g’(x)是单调增加的。

admin2022-10-08 93

问题对于一切实数t,函数f(t)连续的正函数且可导，同时有f(－t)=f(t),又函数
g(x)=∫_-a^a|x－t|f(t)dt,a＞0,x∈[－a,a]

证明g’(x)是单调增加的。

选项

答案g(x)=∫_-a^a|x－t|f(t)dt=∫_-a^x(x－t)f(t)dt+∫_x^a(t－x)f(t)dt =x∫_-a^xf(t)dt－∫_-a^xtf(t)dt+∫_x^atf(t)dt－x∫_x^af(t)dt 因f(t)连续，故上式右边可导，于是 g’(x)=∫_-a^xf(t)dt+xf(x)－xf(x)－xf(x)－∫_x^af(t)dt+xf(x) =∫_-a^xf(t)dt+∫_a^xf(t)dt g"(x)=2f(x) ① 又因f(x)＞0,知g"(x)＞0,由此可以得出g’(x)为单调增函数。

解析

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考研数学三

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设函数问f(x)在x=1处是否连续?若不连续，修改f(x)在x=1处的定义，使之连续．
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求函数的极值．
设试证对任意的正数收敛．
设函数y=y(x)是由方程xy+ey=x+1确定的隐函数，求
一电子仪器由两部分构成，以X和Y分别表示两部分部件的寿命(单位：千小时)，已知X和Y的联合分布函数为问X和Y是否独立；
计算下列反常积分：
设y=f(x)在[0，+∞)上有连续的导数，f(x)的值域为[0，+∞)，且f’(x)＞0，f(0)=0．又x=φ(y)为y=f(x)的反函数，对于常数a＞0，b＞0，试证明：
求曲线与x轴所围成的平面区域绕y轴旋转而成的几何体的体积．
设求f(x)的值域．

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