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计算曲面积分I=,其中∑为曲面4z=4(1-x2)-y2(0≤z≤1)的上侧.
计算曲面积分I=,其中∑为曲面4z=4(1-x2)-y2(0≤z≤1)的上侧.
admin
2020-01-15
19
问题
计算曲面积分I=
,其中∑为曲面4z=4(1-x
2
)-y
2
(0≤z≤1)的上侧.
选项
答案
由积分曲面∑的方程可知,4(x
2
+z)+y
2
=4,故I=[*]xzdydz+2yzdzdx+xydxdy 补曲面∑’:z=0(D
xy
:x
2
+[*]≤1),取下侧,由高斯公式得 I=[*]xzdydz+2yzdzdx+xydxdy-[*]xzdydz+2yzdzdx+xydxdy] [*]xzdydz+2yzdzdx+xydxdy), 其中 [*] 因∑’垂直yOz面与zOx面,故[*
解析
本题考查第二类曲面积分的计算问题——见到曲线、曲面积分的计算问题,就要想到利用积分曲线或积分曲面方程简化被积函数!此处先用积分曲面∑的方程简化被积函数的分母,再补一块曲面,利用高斯公式转化为三重积分计算.另外要清楚∑是顶点在(0,0,1),以z轴为对称轴的开口向下的椭圆抛物面.
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考研数学一
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