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设n阶方阵A=(aij)n×n的每行元素之和为0,其伴随矩阵A*≠O,若a11的代数余子式A11≠0,求方程组 A*x=0的通解.
设n阶方阵A=(aij)n×n的每行元素之和为0,其伴随矩阵A*≠O,若a11的代数余子式A11≠0,求方程组 A*x=0的通解.
admin
2021-02-25
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问题
设n阶方阵A=(a
ij
)
n×n
的每行元素之和为0,其伴随矩阵A
*
≠O,若a
11
的代数余子式A
11
≠0,求方程组
A
*
x=0的通解.
选项
答案
由已知 [*] 所以方程组Ax=0有非零解,从而r(A)<n,又由于A
*
≠O,r(A)≥n-1,所以r(A)=n-1,从而r(A
*
)=1,因此方程组A
*
x=0的基础解系有n-1个解向量,又r(A)=n-1,所以|A|=0,于是A
*
A=|A|E=O,因此矩阵A的n个列向量都是方程组A
*
x=0的解,若令A=(α
1
,α
2
,…,α
n
),由于a
11
的代数余子式A
11
≠0,且r(A)=n-1,所以向量组α
2
,…,α
n
线性无关,从而A
*
x=0的基础解系为α
2
,…,α
n
,于是A
*
x=0的通解为k
1
α
2
+…+k
n-1
α
n
,其中k
1
,k
n-1
为任意常数.
解析
本题是抽象线性方程组的求解问题.要先确定矩阵A的秩r(A),再由r(A)和r(A
*
)的关系确定A
*
的秩r(A
*
),然后由A
*
A=|A|E=O确定A
*
x=0的通解.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/5a84777K
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考研数学二
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