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  3. 设n阶方阵A=(aij)n×n的每行元素之和为0，其伴随矩阵A*≠O，若a11的代数余子式A11≠0，求方程组 A*x=0的通解．

设n阶方阵A=(aij)n×n的每行元素之和为0，其伴随矩阵A*≠O，若a11的代数余子式A11≠0，求方程组 A*x=0的通解．

admin2021-02-25  56
问题 设n阶方阵A=(aij)n×n的每行元素之和为0，其伴随矩阵A*≠O，若a11的代数余子式A11≠0，求方程组
A*x=0的通解．
选项
答案由已知 [*] 所以方程组Ax=0有非零解，从而r(A)＜n，又由于A*≠O，r(A)≥n-1，所以r(A)=n-1，从而r(A*)=1，因此方程组A*x=0的基础解系有n-1个解向量，又r(A)=n-1，所以｜A｜=0，于是A*A=｜A｜E=O，因此矩阵A的n个列向量都是方程组A*x=0的解，若令A=(α1，α2，…，αn)，由于a11的代数余子式A11≠0，且r(A)=n-1，所以向量组α2，…，αn线性无关，从而A*x=0的基础解系为α2，…，αn，于是A*x=0的通解为k1α2+…+kn-1αn，其中k1，kn-1为任意常数．
解析 本题是抽象线性方程组的求解问题．要先确定矩阵A的秩r(A)，再由r(A)和r(A*)的关系确定A*的秩r(A*)，然后由A*A=｜A｜E=O确定A*x=0的通解．
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考研数学二

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